Cho tam giác ABC có AB = 2a, AC = a, A^=30°. Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có AB = 2a, AC = a, $\widehat{A}=30°$. Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.

A. $a\sqrt{5-2\sqrt{3}}$

Đáp án chính xác

B. $a\left(5-2\sqrt{3}\right)$

C. 5a

D. $2\sqrt{3}a$

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có:
$B{C}^2={\overrightarrow{BC}}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}^2={\overrightarrow{AC}}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{AB}}^2$
$=A{C}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^2$.
Ta có:
$\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=\cos \widehat{A}=cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a;\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=2a$
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}{a}^2$

Do đó, ta có:
$B{C}^2=A{C}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^2=a^2-2.\sqrt{3}{a}^2+{\left(2a\right)}^2=\left(5-2\sqrt{3}\right)a^2$
$\Rightarrow BC=a\sqrt{5-2\sqrt{3}}$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hai vectơ a→ và b→ đều khác 0→. Biết: a→,b→=60°, a→.b→=2 và a→=2. Tính độ dài của vectơ b→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Biết: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=60°$, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2$ và $\left|\overrightarrow{a}\right|=2$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$.

   A. 1

   B. 2

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{1}{2}$;

   D. $\frac{1}{4}$.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: B.
   $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2\iff \left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=2$
   $\iff 2.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos60°=2\iff 2.\left|\overrightarrow{b}\right|.\frac{1}{2}=2\iff \left|\overrightarrow{b}\right|=2$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hai vectơ a→ và b→ đều khác 0→. Biết: a→,b→=30°, a→.b→=3và b→=2. Tính độ dài của vectơ a→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Biết: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=30°$, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\sqrt{3}$và $\left|\overrightarrow{b}\right|=2$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$.

   A. 1

   Đáp án chính xác

   B. 2

   C. $\frac{1}{2}$;

   D. $\frac{1}{4}$.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: A.
   $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\sqrt{3}\iff \left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\sqrt{3}\iff \left|\overrightarrow{a}\right|\mathrm{.2.}cos30°=\sqrt{3}$
   $\iff \left|\overrightarrow{a}\right|\mathrm{.2.}\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\iff \left|\overrightarrow{a}\right|=1$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hai vectơ a→ và b→ đều khác 0→. Biết: a→,b→=60°, a→.b→=4 và a→+b→=6. Tính độ dài của vectơ a→ với a→>3.  
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Biết: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=60°$, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=4$ và $\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|=6$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ với $\left|\overrightarrow{a}\right|>3$.  

   A. 7

   B. 6

   C. 5

   D. 4

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: D.
   $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=4\iff \left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=4\iff \left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos60°=4$
   $\iff \left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\frac{1}{2}=4\iff \left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|=8$.
   Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|=8\\ \left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|=8\\ \left|\overrightarrow{b}\right|=6-\left|\overrightarrow{a}\right|\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{a}\right|.\left(6-\left|\overrightarrow{a}\right|\right)=8\left(1\right)\\ \left|\overrightarrow{b}\right|=6-\left|\overrightarrow{a}\right|\end{array}\right.$
   Xét (1) ta có : $6\left|\overrightarrow{a}\right|-{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2=8\iff -{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+6\left|\overrightarrow{a}\right|-8=0\iff \left[\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{a}\right|=4\\ \left|\overrightarrow{a}\right|=2\end{array}\right.$
   Vì $\left|\overrightarrow{a}\right|>3$ nên ta có: $\left|\overrightarrow{a}\right|=4$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A^=45°. Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, $\widehat{A}=45°$. Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.

   A. $\sqrt{13+6\sqrt{2}}$

   B. $\sqrt{13-6\sqrt{2}}$

   Đáp án chính xác

   C. 13

   D. $6\sqrt{2}$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: B.
   Ta có:
   $B{C}^2={\overrightarrow{BC}}^2={\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)}^2={\overrightarrow{AC}}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{AB}}^2$
   $=A{C}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^2$.
   Ta có:
   $\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=\cos \widehat{A}=cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$

   $\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=3;\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=2$
   $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{AB}\right|.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\mathrm{3.2.}\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$

   Do đó, ta có:
   $B{C}^2=A{C}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+A{B}^2=3^2-2.3\sqrt{2}+2^2=13-6\sqrt{2}$
   $\Rightarrow BC=\sqrt{13-6\sqrt{2}}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC có BC = 2cm, BM = 1cm, CBM^=60° với M là trung điểm AC. Tính độ dài AC.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có BC = 2cm, BM = 1cm, $\widehat{CBM}=60°$ với M là trung điểm AC. Tính độ dài AC.

   A. 3

   B. $3\sqrt{2}$;

   C. 2

   D. $2\sqrt{3}$.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: D.
   Ta có:
   $C{M}^2={\overrightarrow{CM}}^2={\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BM}\right)}^2={\overrightarrow{BC}}^2-2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BM}+{\overrightarrow{BM}}^2$
   $=B{C}^2-2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BM}+B{M}^2$
   Ta có:
   $cos\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BM}\right)=\cos \widehat{CBM}=cos60°=\frac{1}{2}$.
   $\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=2cm$; $\left|\overrightarrow{BM}\right|=BM=1cm$
   Ta có: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BM}=\left|\overrightarrow{BC}\right|.\left|\overrightarrow{BM}\right|.cos\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BM}\right)=\mathrm{2.1.}\frac{1}{2}=1$
   $C{M}^2=B{C}^2-2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BM}+B{M}^2=2^2-2.1+1^2=3\Rightarrow CM=\sqrt{3}$ (cm)
   Mà M là trung điểm của AC
   $\Rightarrow AC=2CM=2\sqrt{3}$ cm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====