Giải SGK Toán 11 (Chân trời sáng tạo): Bài tập cuối chương 3

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài tập cuối chương 3
Bài tập
Bài 1 trang 85 Toán 11 Tập 1: lim$\frac{n+3}{n^2}$ bằng:
A. 1;
 
B. 0;
C. 3;
D. 2.
Lời giải:
Đáp án đúng là B
Ta có: $\lim \frac{n+3}{n^2}=\lim \frac{\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}}{1}=0$.
Bài 2 trang 85 Toán 11 Tập 1: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
$M=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{4^n}+\mathrm{\dots }$ bằng:
A. $\frac{3}{4}$;
B. $\frac{5}{4}$;
C. $\frac{4}{3}$;
D. $\frac{6}{5}$.
Lời giải:
Đáp án đúng là C
Cấp số nhân lùi vô hạn đã cho có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = $\frac{1}{4}$ có tổng bằng:
$M=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{4^n}+\mathrm{\dots }=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$.
Bài 3 trang 85 Toán 11 Tập 1: $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x-3}$ bằng
A. 0;
B. 6;
C. 3;
D. 1.
Lời giải:
Đáp án đúng là B
Ta có: $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\left(x+3\right)=6$.
Bài 4 trang 85 Toán 11 Tập 1: Hàm số: f(x) =  liên tục tại x = 2 khi
A. m = 3;
B. m = 5;
C. m = – 3;
D. m = – 5.
Lời giải:
Đáp án đúng là D
Ta có: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x^2+2x+m\right)=m+8$
$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }3=3$
Để hàm số liên tục tại x = 2 thì m + 8 = 3 ⇔ m = – 5.
Vậy với m = – 5 thì hàm số đã cho liên tục tại x = 2.
Bài 5 trang 85 Toán 11 Tập 1: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x}$ bằng
A. 2;
B. – 1;
C. 0;
D. 1.
Lời giải:
Đáp án đúng là A
Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{1}=2$.
Bài tập tự luận
Bài 6 trang 86 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim \frac{3n-1}{n}$;
b) $\lim \frac{\sqrt{n^2+2}}{n}$;
c) $\lim \frac{2}{3n+1}$;
d) $\lim \frac{(n+1)\left(2n+2\right)}{n^2}$.
Lời giải:
a) $\lim \frac{3n-1}{n}=\lim \frac{3-\frac{1}{n}}{1}=3$.
b) $\lim \frac{\sqrt{n^2+2}}{n}=\lim \frac{\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}}{1}=1$.
c) $\lim \frac{2}{3n+1}=\lim \frac{\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}}=0$.
d) $\lim \frac{(n+1)\left(2n+2\right)}{n^2}=\lim \frac{2n^2+4n+2}{n^2}=\lim \frac{2+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2}}{1}=2$.
Bài 7 trang 86 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác đều có cạnh bằng a, gọi là tam giác H₁. Nỗi các trung điểm của H₁ để tạo thành tam giác H₂. Tiếp theo, nối các trung điểm của H₂ để tạo thành tam giác H₃ (Hình 1). Cứ tiếp tục như vậy, nhận được dãy tam giác H₁, H₂, H₃, …
Tỉnh tổng chu vi và tổng diện tích của các tam giác của dãy.

Lời giải:
Ta có:
Diện tích tam giác H₁ = S và chu vi tam giác H₁ = 3a;
Diện tích tam giác H₂ = $\frac{1}{4}$S và chu vi tam giác H₂ = $\frac{1}{2}$3a;
Diện tích tam giác H₂ = ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2$S và chu vi tam giác H₃ = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$3a;
…
Diện tích tam giác H_n = ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$S và chu vi tam giác H₂ = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$3a;
Khi đó:
Diện tích của dãy các tam giác H₁; H₂; H₃; …; H₄ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu tiên u₁ = S và công bội q = $\frac{1}{4}$ có tổng bằng $S+\frac{1}{4}S+{\left(\frac{1}{4}\right)}^{2}S+\mathrm{\dots }+{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}S+\mathrm{\dots }=\frac{S}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}S$.
Diện tích của dãy các tam giác H₁; H₂; H₃; …; H₄ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu tiên u₁ = 3a và công bội q = $\frac{1}{2}$ có tổng bằng
$3a+\frac{1}{2}.3a+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2.3a+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3.3a+\mathrm{\dots }+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}3a+\mathrm{\dots }=\frac{3a}{1-\frac{1}{2}}=6a$.
Bài 8 trang 86 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) $\underset{x\to -1}{\lim }\left(3x^2-x+2\right)$;
b) $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{x^2-16}{x-4}$;
c) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3-\sqrt{x+7}}{x-2}$.
Lời giải:
a) $\underset{x\to -1}{\lim }\left(3x^2-x+2\right)=6$.
b) $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{x^2-16}{x-4}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}{x-4}=\underset{x\to 4}{\lim }\left(x+4\right)=8$.
c) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3-\sqrt{x+7}}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(2-x\right)\left(3+\sqrt{x+7}\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\left(-3-\sqrt{x+7}\right)=-6$.
Bài 9 trang 86 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x+2}{x+1}$;
b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-2}{x^2}$.
Lời giải:
a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x+2}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}=-1$.
b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-2}{x^2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}{1}=0$.
Bài 10 trang 86 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{1}{x-4}$;
b) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x}{2-x}$.
Lời giải:
a) $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{1}{x-4}=+\infty$.
b) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x}{2-x}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }x.\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{2-x}=+\infty$.
Bài 11 trang 86 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = .
Lời giải:
+) Với x ∈ (0; + ∞) ta có f(x) = $\sqrt{x+4}$ liên tục.
+) Với x ∈ (– ∞; 0) ta có f(x) = 2cosx liên tục.
+) Tại x = 0, ta có:
$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x+4}=2$;
$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(2\cos x\right)=2$.
Suy ra $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=2=f\left(0\right)$
Do đó hàm số liên tục tại x = 0.
Vậy hàm số liên tục trên ℝ.
Bài 12 trang 86 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = . Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ.
Lời giải:
+) Với mọi x ≠ 5 thì f(x) = $\frac{x^2-25}{x-5}$ liên tục.
+) Tại x = 5, ta có:
$\underset{x\to 5}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x^2-25}{x-5}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{x-5}=\underset{x\to 5}{\lim }\left(x+5\right)=10$.
f(5) = a
Để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số phải liên tục tại x = 5 khi a = 10.
Bài 13 trang 86 Toán 11 Tập 1: Trong một tủ thí nghiệm, nhiệt độ trong tủ sấy được điều khiển tăng từ 10°C, mỗi phút tăng 2°C trong 60 phút, sau đó giảm mỗi phút 3°C trong 40 phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ (tính theo ºC) trong tủ theo thời gian t (tính theo phút) có dạng
T(t) =  (k là hằng số).
Biết rằng T(t) là hàm liên tục trên tập xác đinh. Tìm giá trị của k.
Lời giải:
+) Với 0 ≤ t < 60 thì T(t) = 10 + 2t là hàm số liên tục.
+) Với 60 < t ≤ 100 thì T(t) = k – 3t là hàm số liên tục.
+) Tại t = 60, ta có:
$\underset{t\to {60}^{-}}{\lim }T\left(t\right)=\underset{t\to {60}^{-}}{\lim }\left(10+2t\right)=130$
$\underset{t\to {60}^{+}}{\lim }T\left(t\right)=\underset{t\to {60}^{-}}{\lim }\left(k-3t\right)=k-180$
Để hàm số liên tục trên tập xác định [0; 100] thì hàm số liên tục tại x = 60
⇔ k – 180 = 130
⇔ k = 240.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 3: Hàm số liên tục
Bài tập cuối chương 3

==== ~~~~~~ ====