Câu hỏi:
Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD và AD = BC.
Trả lời:
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CDQua K kẻ đường thẳng d // AB, trên d lấy A’, B’ sao cho K là trung điểm của A’B’ vàKA’ = IA* Xét tam giác CKB’ và DKA’ có:KC= KD ( giả thiết)KB’= KA’( cách dựng)
( hai góc đối đỉnh )=> ∆ CKB’ = ∆ DKA’ ( c.g.c)=> B’C = A’D*Xét tứ giác IBB’K có IB= KB’ và IB // KB’ ( cách dựng)=> Tứ giác IBB’K là hình bình hành=> BB’ // IK (1)Chứng minh tương tự, ta có: AA’// IK (2)Từ (1) và (2) suy ra: BB’// IK// AA’ (*)
Lại có:IK ⊥ CK=> IK ⊥ (CKB’) (**)Từ (*) và (**) suy ra BB’ ⊥ (CKB’) ; AA’ ⊥ (CKB’)⇒ BB’ ⊥ B’C; AA’ ⊥ A’D* Xét hai tam giác vuông BCB’ và ADA’ có:BB’ = AA’ (= IK)CB’ = A’D (chứng minh trên)=> ∆ BCB’ = ∆ ADA’ ( cạnh huyền –cạnh góc vuông)=> BC= AD.* Chứng minh tương tự, AC = BD
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho điểm O và đường thẳng a. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so với các khoảng cách từ O đến một điểm bất kì của đường thẳng a
Câu hỏi:
Cho điểm O và đường thẳng a. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so với các khoảng cách từ O đến một điểm bất kì của đường thẳng a
Trả lời:
Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là OH (H là hình chiếu vuông góc của O trên a) Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc ⇒ khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so với các khoảng cách từ O đến một điểm bất kì của đường thẳng a====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho điểm O và mặt phẳng (α). Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).
Câu hỏi:
Cho điểm O và mặt phẳng (α). Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).
Trả lời:
Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (α) ⇒ OH = khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α)M là điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α), xét quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu OH < OMVậy khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Chứng minh rằng khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α).
Câu hỏi:
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Chứng minh rằng khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α).
Trả lời:
Lấy điểm A ∈ a, A’ là hình chiếu của A trên mặt phẳng (α) ⇒ AA’ = khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α)Mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ A tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).Vậy khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hai mặt phẳng (α) và (β). Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) là nhỏ nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.
Câu hỏi:
Cho hai mặt phẳng (α) và (β). Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) là nhỏ nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.
Trả lời:
hai mặt phẳng song song (α) và (β) nên có 1 đường thằng a ∈ (α) và a // (β) ⇒ Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (β) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (β).Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) là nhỏ nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AD. Chứng minh rằng: MN ⊥ BC và MN ⊥ AD (h.3.42)
Câu hỏi:
Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AD. Chứng minh rằng: MN ⊥ BC và MN ⊥ AD (h.3.42)
Trả lời:
Tứ diện đều ABCD nên các mặt của tứ diện là các tam giác đều bằng nhauTa có: ∆BAD = ∆CAD (c.c.c)Suy ra hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau: BN = CN⇒ ΔBNC cân tại N.Do NM là đường trung tuyến của tam giác cân BNC nên NM đồng thời là đường cao:⇒ MN ⊥ BCChứng minh tương tự MN ⊥ AD====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====