Cho hệ phương trình m−1x−my=3m−12x−y=m+5. Tìm m để có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức S=x2+y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu hỏi:

Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\ 2x-y=m+5\end{array}\right.$. Tìm m để có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức $S=x^2+y^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. m = 1

Đáp án chính xác

B. m = 0

C m = −1

D. m = 2

Trả lời:

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\ 2x-y=m+5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ \left(m-1\right)x-m\left(2x-m-5\right)=3m-1\end{array}\right.$
$\iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ \left(m-1\right)x-2mx+m^2+5m=3m-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ -\left(m+1\right)x=-m^2-5m+3m-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ \left(m+1\right)x=m^2+2m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\left(1\right)\\ \left(m+1\right)x={\left(m+1\right)}^2\left(2\right)\end{array}\right.$
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay $m\ne -1$
Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra $x=\frac{{\left(m+1\right)}^2}{m+1}=m+1$
Thay x = m + 1vào phương trình (1) ta được y = 2 (m + 1) – m – 5 = m – 3
Vậy với $m\ne -1$ thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (m + 1; m – 3)
Ta xét $S=x^2+y^2={(m+1)}^2+{(m–3)}^2=m^2+2m+1+m^2-6m+9$
$=2m^2–4m+10=2(m^2–2m+1)+8=2{(m–1)}^2+8$
Vì ${(m – 1)}^2 \ge 0; \forall m\Rightarrow 2{(m–1)}^2+8\ge 8;\forall m$
Hay $S\ge 8;\forall m$. Dấu “=” xảy ra khi m–1 = 0$\iff$m=1 (TM)
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Đáp án: A

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Biết hệ phương trình 2x+by=abx+ay=5có nghiệm x = 1; y = 3. Tính 10(a + b)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+by=a\\ bx+ay=5\end{array}\right.$có nghiệm x = 1; y = 3. Tính 10(a + b)

   A. 15

   B. 16

   Đáp án chính xác

   C. 14

   D. 17

   Trả lời:

   Thay x = 1; y = 3 vào hệ ta có$\left\{\begin{array}{l}2.1+b.3=a\\ b.1+a.3=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a-3b=2\\ 3a+b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3a-9b=6\\ 3a+b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}10b=-1\\ 3a+b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{-1}{10}\\ a=\frac{17}{10}\end{array}\right.$ Vậy $a=\frac{17}{10};b=\frac{-1}{10}$thì hệ phương trình có nghiệm  x = 1; y = 3$\Rightarrow$10(a + b) = 16Đáp án: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Biết hệ phương trình 3ax+y=b2ax−2by=3có nghiệm x = −1; y = −2. Tính 14(a – b)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3ax+y=b\\ 2ax-2by=3\end{array}\right.$có nghiệm x = −1; y = −2. Tính 14(a – b)

   A. 5

   B. 16

   C. −16

   Đáp án chính xác

   D. −17

   Trả lời:

   Thay x = −1; y = −2 vào hệ ta có:

   $\left\{\begin{array}{l}3a\left(-1\right)+\left(-2\right)=b\\ 2.a\left(-1\right)-2b\left(-2\right)=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3a-2=b\\ -2a+4b=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=-2-3a\\ -2a+4\left(-2-3a\right)=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=-2-3a\\ 14a=-11\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{11}{14}\\ b=-2-3.\left(-\frac{11}{14}\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{11}{14}\\ b=\frac{5}{14}\end{array}\right.$
   Vậy $a=\frac{-11}{14};b=\frac{5}{14}$thì hệ phương trình có nghiệm  x = −1; y = −2
   $\Rightarrow$14(a – b) = $14.\left(–\frac{11}{14}–\frac{5}{14}\right)$ = −16
   Đáp án: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hệ phương trình x+2y=m+32x−3y=m(m là tham số). Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x + y = −3
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+2y=m+3\\ 2x-3y=m\end{array}\right.$(m là tham số). Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x + y = −3

   A. m = −6

   Đáp án chính xác

   B. m = 6

   C. m = 3

   D. m = −4

   Trả lời:

   Ta có$\left\{\begin{array}{l}x+2y=m+3\\ 2x-3y=m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+4y=2m+6\\ 2x-3y=m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+2y=m+3\\ 7y=m+6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5m+9}{7}\\ y=\frac{m+6}{7}\end{array}\right.$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) =\left(\frac{5m+9}{7};\frac{m+6}{7}\right)$  Lại có x + y = −3 hay $\frac{5m+9}{7}+\frac{m+6}{7}=-3\iff$5m + 9 + m + 6 = −21$\iff$6m = −36$\iff$m = −6Vậy với m = −6 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x + y = −3Đáp án: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hệ phương trình3x−y=2m+1x+2y=−m+2(m là tham số). Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x − y = 1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hệ phương trình$\left\{\begin{array}{l}3x-y=2m+1\\ x+2y=-m+2\end{array}\right.$(m là tham số). Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x − y = 1

   A. m = −1

   B. m = 4

   C. m = 1

   Đáp án chính xác

   D. m = −2

   Trả lời:

   Ta có
   $\left\{\begin{array}{l}3x-y=2m+1\\ x+2y=-m+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}6x-2y=4m+2\\ x+2y=-m+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}7x=3m+4\\ x+2y=-m+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3m+4}{7}\\ \frac{3m+4}{7}+2y=-m+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3m+4}{7}\\ 2y=\frac{-7m+14}{7}-\frac{3m+4}{7}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3m+4}{7}\\ y=\frac{-5m+5}{7}\end{array}\right.$
   hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) =\left(\frac{3m+4}{7};\frac{-5m+5}{7}\right)$  
   Để x – y = 1 thì$\frac{3m+4}{7}-\frac{-5m+5}{7}=1\iff$8m – 1 = 7$\iff$8m = 8 $\iff$  m = 1
   Vậy với m = 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x − y = 1
   Đáp án: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hệ phương trình 2x+y=5m−1x−2y=2. Có bao nhiêu giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x2 – 2y2 = −2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+y=5m-1\\ x-2y=2\end{array}\right.$. Có bao nhiêu giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn $x^2 – 2y^2 = -2$

   A. 0

   B. 1

   C. 2

   Đáp án chính xác

   D. 3

   Trả lời:

   Ta có $\left\{\begin{array}{l}2x+y=5m-1\\ x-2y=2\end{array}\right.$
   $\iff \left\{\begin{array}{l}y=5m-1-2x\\ x-2\left(5m-1-2x\right)=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=5m-1-2x\\ 5x=10m\end{array}\right.$
   $\iff \left\{\begin{array}{l}x=2m\\ y=m-1\end{array}\right.$
   Thay vào $x^2 – 2y^2 = -2$ ta có
   $x^2–2y^2=-2\iff {\left(2m\right)}^2–2{(m-1)}^2 =-2\iff 2m^2+4m=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-2\end{array}\right.$    
   Vậy m $\in${−2; 0}
   Đáp án: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====