Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc. Gọi I là điểm trên cung AC sao cho khi vẽ tiếp tuyến qua I và cắt DC kéo dài tại M thì IC = CM. Độ dài OM tính theo bán kính là:

Câu hỏi:

Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc. Gọi I là điểm trên cung AC sao cho khi vẽ tiếp tuyến qua I và cắt DC kéo dài tại M thì IC = CM. Độ dài OM tính theo bán kính là:

A. 3R

B. 2R

Đáp án chính xác

C. $\frac{3}{2}$R

D. $\frac{3}{4}$R

Trả lời:

+) Ta có:  $\widehat{CIM}=\frac{1}{2}\widehat{IOC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung với góc ở tâm chắn cung IC)  => $\widehat{IOC}=2\widehat{CIM}$Lại có $\widehat{OCI}=\widehat{CIM}+\widehat{CMI}=2\widehat{CIM}$ (do $∆$CMI cân tại C)Do đó $∆$OIC đều (vì $\widehat{OIC}=\widehat{IOC}=\widehat{OCI}$) => $\widehat{IOM}$ = 60^o+) Xét $∆$OIM vuông tại I có:cos $\widehat{IOM}$ = $\frac{OI}{OM}=\frac{R}{OM}=\frac{1}{2}$ => OM = 2RĐáp án cần chọn là: B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Từ điểm M nằm ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến MD; MB và cát tuyến MAC với đường tròn (A nằm giữa M và C). Giả sử BABC=12. Khi đó:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Từ điểm M nằm ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến MD; MB và cát tuyến MAC với đường tròn (A nằm giữa M và C). Giả sử $\frac{BA}{BC}=\frac{1}{2}$. Khi đó:

   A. $\frac{AD}{DC}$ = 2

   B. $\frac{AD}{DC}$ = $\frac{2}{3}$

   C. $\frac{AD}{DC}$ = $\frac{1}{2}$

   Đáp án chính xác

   D. $\frac{AD}{DC}$ = $\frac{1}{4}$

   Trả lời:

   Xét (O) có $\widehat{MBA}=\widehat{BCA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AB bằng góc nội tiếp chắn cung AB)Suy ra $∆$MBA đồng dạng với $∆$MCB (g – g) => $\frac{MB}{MC}=\frac{BA}{CB}$Xét (O) có $\widehat{MDA}=\widehat{DCA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AB bằng góc nội tiếp chắn cung AD)Suy ra $∆$MAD đồng ý $∆$MDC (g – g)  => $\frac{MD}{MC}=\frac{AD}{CD}$Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì MB = MDnên $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$Đáp án cần chọn là: C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với (O) tại C, tiếp xúc với đường tròn (O’) tại D sao cho tia AB cắt đoạn CD. Vẽ đường tròn (I) đi qua ba điểm A, C, D cắt đường thẳng AB tại một điểm thứ hai là E. Chọn câu đúng.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với (O) tại C, tiếp xúc với đường tròn (O’) tại D sao cho tia AB cắt đoạn CD. Vẽ đường tròn (I) đi qua ba điểm A, C, D cắt đường thẳng AB tại một điểm thứ hai là E. Chọn câu đúng.

   A. Tứ giác BCED là hình thoi

   B. Tứ giác BCED là hình bình hành

   Đáp án chính xác

   C. Tứ giác BCED là hình vuông

   D. Tứ giác BCED là hình chữ nhật

   Trả lời:

   +) Xét (O) ta có: $\widehat{BAC}=\widehat{BCD}$ (cùng chắn cung CB)Xét (I) có: $\widehat{CAB}=\widehat{EDC}$ (cùng chắn cung CE)=> $\widehat{BCD}=\widehat{EDC}$ =>  ED // BC (1)+) Xét (O’) có: $\widehat{BAD}=\widehat{BDC}$ (cùng chắn cung BD)Xét (I) có: $\widehat{EAD}=\widehat{ECD}$ (cùng chắn cung ED)=> $\widehat{ECD}=\widehat{BDC}$ => CE // BD (2)Từ (1) và (2) suy ra BDEC là hình bình hànhĐáp án cần chọn là: B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp (O; R). Gọi BD, CE là hai đường cao của tam giác. Gọi xy là tiếp tuyến tại A của (O; R) và I, K lần lượt là hình chiếu của B, C trên xy. Hệ thức nào dưới đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp (O; R). Gọi BD, CE là hai đường cao của tam giác. Gọi xy là tiếp tuyến tại A của (O; R) và I, K lần lượt là hình chiếu của B, C trên xy. Hệ thức nào dưới đây đúng?

   A. $\frac{IA}{EB}.\frac{CD}{AK}=\frac{AC}{AB}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{IA}{EB}.\frac{CD}{AK}=\frac{AB}{AC}$

   C. $\frac{IA}{EB}.\frac{CD}{AK}=\frac{AC}{BC}$

   D. $\frac{IA}{EB}.\frac{EB}{AK}=\frac{AC}{AB}$

   Trả lời:

   Xét (O) có $\widehat{IAC}=\widehat{ABC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)Xét hai tam giác vuông IAC và EBC có $\widehat{IAC}=\widehat{ABC}$ (cmt)$∆$IAC đồng dạng với $∆$EBC (g – g)  => $\frac{IA}{EB}=\frac{AC}{BC}$Tương tự ta có $∆$AKB đồng dạng với $∆$CDB (g – g)   => $\frac{CD}{AK}=\frac{BC}{AB}$Suy ra  $\frac{IA}{EB}.\frac{CD}{AK}=\frac{AC}{BC}.\frac{BC}{AB}\iff \frac{IA}{EB}.\frac{CD}{AK}=\frac{AC}{AB}$Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho nửa đường tròn (O); đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn. Gọi D là một điểm trên đường kính AB; qua D kẻ đường vuông góc với AB cắt BC tại F, cắt AC tại E. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt EF tại I. Khi đó:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho nửa đường tròn (O); đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn. Gọi D là một điểm trên đường kính AB; qua D kẻ đường vuông góc với AB cắt BC tại F, cắt AC tại E. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt EF tại I. Khi đó:

   A. IE = IF

   Đáp án chính xác

   B. IE = 2IF

   C. EF = 2IE

   D. EF = 3IF

   Trả lời:

   Xét (O) có $\widehat{ICB}=\widehat{CAB}$ (hệ quả) mà $\widehat{BFD}=\widehat{BAC}$ (Cùng phụ với $\widehat{ABC}$)
   Nên $\widehat{ICF}=\widehat{BFD}\Rightarrow \widehat{ICF}=\widehat{CFI}$ suy ra $∆$ICF cân tại I => IF = IC (*)Lại có $\widehat{ICE}+\widehat{ICF}$ = 90^o => $\widehat{ICE}+\widehat{CAB}$ = 90^o mà $\widehat{CAB}+\widehat{AED}$ = 90^o=> $\widehat{CEI}=\widehat{ECI}$ => $∆$ICE cân tại INên IE = IC (**)Từ (*) và (**) suy ra IE = IF =  Đáp án cần chọn là: A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====