Cho tam giác ABC, phân giác AD (D ∈ BC). Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E. Chứng minh rằng ACAB=ECEA.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC, phân giác AD (D ∈ BC). Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E. Chứng minh rằng $\frac{AC}{AB}=\frac{EC}{EA}$.

Trả lời:

Theo đề bài, AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$, áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác ABC, ta có: $\frac{AC}{AB}=\frac{DC}{DB}$                (1)
Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E hay DE // AB, áp dụng định lí Thalès vào tam giác ABC, ta có: $\frac{DC}{DB}=\frac{EC}{EA}$           (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AC}{AB}=\frac{EC}{EA}$ (đpcm).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tìm độ dài x trong Hình 4.30
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm độ dài x trong Hình 4.30
   

   Trả lời:

   Trong Hình 4.30 có $\widehat{DEM}=\widehat{EMN}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MN // DE.
   Áp dụng định lí Thalès vào tam giác DEF có MN // DE, ta có:
   $\frac{MF}{MD}=\frac{NF}{NE}$ hay $\frac{2}{3}=\frac{x}{6}$.
   Suy ra $x=\frac{2.6}{3}=4$ (đvđd).
   Vậy x = 4 (đvđd).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tứ giác ABCD, gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC. a) Chứng minh EK // CD, FK // AB.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ giác ABCD, gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.
   a) Chứng minh EK // CD, FK // AB.

   Trả lời:

   
   a) Vì E, K lần lượt là trung điểm của AD, AC nên EK là đường trung bình của tam giác ACD suy ra EK // CD.
   Vì K, F lần lượt là trung điểm của AC, BC nên KF là đường trung bình của tam giác ABC suy ra KF // AB.
   Vậy EK // CD, FK // AB.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. b) So sánh EF và 12(AB+CD).
   
   

   Câu hỏi:
   

   b) So sánh EF và $\frac{1}{2}(AB+CD)$.

   Trả lời:

   b) Vì EK là đường trung bình của tam giác ACD nên $EK=\frac{1}{2}CD$;
   Vì KF là đường trung bình của tam giác ABC nên $KF=\frac{1}{2}AB$.
   Do đó $EK+KF=\frac{1}{2}(AB+CD)$           (1)
   Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác KEF, ta có: EF < EK + KF          (2)
   Từ (1) và (2) ta suy ra $EF<\frac{1}{2}(AB+CD)$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D. a) Tính độ dài đoạn thẳng DB và DC.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D.
   a) Tính độ dài đoạn thẳng DB và DC.

   Trả lời:

   a) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:
   $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$.
   Suy ra $\frac{DB}{3}=\frac{DC}{4}$.
   Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
   $\frac{DB}{3}=\frac{DC}{4}=\frac{DB+DC}{3+4}=\frac{BC}{7}=\frac{25}{7}$.
   Do đó, $DB=\frac{25.3}{7}=\frac{75}{7}$ (cm); $DC=\frac{25.4}{7}=\frac{100}{7}$ (cm).
   Vậy $DB=\frac{75}{7}$ cm; $DC=\frac{100}{7}$ cm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD.
   
   

   Câu hỏi:
   

   b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD.

   Trả lời:

   
   ) Hai tam giác ABD và ACD có chung đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh BC, ta gọi đường cao đó là AH.
   Ta có: $S_{ABD}=\frac{1}{2}AH.DB;S_{ADC}=\frac{1}{2}AH.DC$.
   Suy ra $\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.DC}=\frac{DB}{DC}=\frac{3}{4}$.
   Vậy tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD bằng $\frac{3}{4}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====