Cho ∆ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự ba điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là

Câu hỏi:

Cho ∆ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự ba điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là

A. Điểm B;

B. Trung điểm của cạnh NP; 

C. Trung điểm của cạnh MN; 

D. Giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án đúng là: D

Ta có AC = BC (do ∆ABC đều) và CP = BN (giả thiết).
Suy ra AC – CP = BC – BN.
Do đó AP = CN.
Xét ∆MAP và ∆PCN, có:
AM = CP (giả thiết).
$\widehat{MAP}=\widehat{PCN}\left(=60°\right)$ (do ∆ABC đều).
AP = CN (chứng minh trên).
Do đó ∆MAP = ∆PCN (c.g.c)
Suy ra MP = PN (cặp cạnh tương ứng)   (1).
Chứng minh tương tự, ta được MN = PN  (2).
Từ (1), (2), ta suy ra MP = MN = PN.
Do đó ∆MNP đều.
Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ∆ABC
Khi đó OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)
Xét DBOA và DBOC có:
BA = BC (do ∆ABC đều),
BO là cạnh chung,
OA = OC (chứng minh trên)
Do đó DBOA = DBOC (c.c.c)
Suy ra $\widehat{ABO}=\widehat{CBO}$ (hai góc tương ứng)
Ta suy ra BO cũng là đường phân giác của ∆ABC.
Do đó $\widehat{OBM}=\widehat{OBN}=60°:2=30°$.
Chứng minh tương tự, ta được:
$\widehat{OAM}=\widehat{OAP}=30°$ và $\widehat{OCN}=\widehat{OCP}=30°$.
Xét ∆MAO và ∆NBO, có:
OA = OB (chứng minh trên).
$\widehat{OAM}=\widehat{OBN}$ (= 30°).
AM = BN (giả thiết).
Do đó ∆MAO = ∆NBO (c.g.c)
Suy ra MO = NO (cặp cạnh tương ứng)  (3).
Chứng minh tương tự, ta được NO = PO   (4).
Từ (3), (4), ta suy ra OM = ON = OP.
Do đó O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP.
Vì vậy giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.
Vậy ta chọn đáp án D.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho ∆ABC, gọi I là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC. Kết quả nào dưới đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ∆ABC, gọi I là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC. Kết quả nào dưới đây đúng?

   A. IA > IB > IC;

   B. IA = IB = IC; 

   Đáp án chính xác

   C. IA < IB < IC; 

   D. Không thể so sánh được độ dài của IA, IB, IC.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   
   ∆ABC có I là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC.
   Suy ra I cũng thuộc đường trung trực của cạnh BC.
   Vì giao điểm I của ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của ∆ABC.
   Nên IA = IB = IC.
   Vậy ta chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Số đo OMB^ bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Số đo $\widehat{OMB}$ bằng:

   A. 30°;

   B. 45°;

   C. 60°;

   D. 90°.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: D
   
   Vì ba đường trung trực của ∆ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm O của hai đường trung trực của các cạnh AB, AC cũng thuộc đường trung trực của cạnh BC.
   Do đó OM là đường trung trực thứ ba của ∆ABC.
   Suy ra OM ⊥ BC.
   Nên $\widehat{OMB}=90°$.
   Vậy ta chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại E. Điểm E thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại E. Điểm E thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây.

   A. BC;

   B. AM;

   Đáp án chính xác

   C. AB;

   D. AC.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   
   Xét ∆MAB và ∆MAC, có:
   AB = AC (do ∆ABC cân tại A),
   AM là cạnh chung,
   BM = CM (do M là trung điểm BC.
   Do đó ∆MAB = ∆MAC (c.c.c).
   Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (cặp góc tương ứng).
   Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù).
   Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=180°:2=90°$.
   Do đó AM ⊥ BC tại M.
   Mà M là trung điểm BC (giả thiết).
   Suy ra AM là đường trung trực thứ ba của ∆ABC.
   Vì vậy AM cũng đi qua giao điểm E của hai đường trung trực của AB và AC.
   Do đó E ∈ AM.
   Vậy ta chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho ∆ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Đường trung trực của AB cắt AM ở O. Biết OA = 4 cm. Tính OB và OC.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ∆ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Đường trung trực của AB cắt AM ở O. Biết OA = 4 cm. Tính OB và OC.

   A. OB = OC = 2 cm;

   B. OB = OC = 4 cm; 

   Đáp án chính xác

   C. OB = OC = 8 cm;

   D. OB = 2 cm; OC = 4 cm.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   
   Xét ∆ABM và ∆ACM, có:
   AM là cạnh chung,
   AB = AC (∆ABC cân tại A),
   BM = CM (AM là đường trung tuyến của ∆ABC)
   Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).
   Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (cặp góc tương ứng).
   Ta có $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù).
   Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=180°:2=90°$.
   Vì vậy AM ⊥ BC.
   Mà M là trung điểm BC (AM là đường trung tuyến của ∆ABC).
   Do đó AM là đường trung trực của BC của ∆ABC.
   Mà đường trung trực của AB cắt AM tại O
   Khi đó O là giao điểm hai đường trung trực của tam giác nên cách đều các đỉnh
   Suy ra OB = OC = OA = 4 cm.
   Vậy ta chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho ∆ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác. Biết BO cũng là tia phân giác của ABC^. Khẳng định nào sau đây sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ∆ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác. Biết BO cũng là tia phân giác của $\widehat{ABC}$. Khẳng định nào sau đây sai?

   A. ∆BOA = ∆BOC;

   B. ∆BAC cân tại A;

   Đáp án chính xác

   C. B thuộc đường trung trực của cạnh AC;

   D. $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}$.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   
   Vì O là giao điểm các đường trung trực của ∆ABC nên OA = OB = OC.
   Do đó ∆OAB cân tại O và ∆OBC cân tại O.
   Suy ra $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$và $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$ (tính chất tam giác cân)
   Mà $\widehat{OBA}=\widehat{OBC}$ (vì OB là tia phân giác của $\widehat{ABC}$)   (1).
   Ta suy ra $\widehat{OAB}=\widehat{OCB}$   (2).
   ∆ABO có: $\widehat{AOB}+\widehat{OAB}+\widehat{OBA}=180°$  (3).
   ∆OBC có: $\widehat{BOC}+\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=180°$  (4).
   Từ (1), (2), (3), (4), ta suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}$.
   Do đó đáp án D đúng.
   Xét ∆BOA và ∆BOC, có:
   OB là cạnh chung.
   $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}$ (chứng minh trên).
   OA = OC (chứng minh trên).
   Do đó ∆BOA = ∆BOC (c.g.c)
   Vì vậy đáp án A đúng.
   Ta có ∆BOA = ∆BOC (chứng minh trên).
   Suy ra AB = BC (cặp cạnh tương ứng).
   Do đó ∆BAC cân tại B.
   Vì vậy đáp án B sai.
   Đến đây ta có thể chọn đáp án B.
   Ta có BA = BC (chứng minh trên) và OA = OC (chứng minh trên).
   Suy ra BO là đường trung trực của đoạn thẳng AC.
   Vì vậy B thuộc đường trung trực của cạnh AC.
   Do đó đáp án C đúng.
   Vậy ta chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====