Xét các số phức z thỏa mãn |z – 1| = 2. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z+2+23−z¯. Tổng M + m bằng:

Câu hỏi:

Xét các số phức z thỏa mãn |z – 1| = 2. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left|z+2\right|+2\left|3-\overline{z}\right|.$ Tổng M + m bằng:

A. 14

B. 7

C. $\frac{45+3\sqrt{55}}{5}$

D. $\frac{15+5\sqrt{33}}{3}$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Gọi $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)$ và M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z
Gọi I(1; 0) là điểm biểu diễn số phức 1.
Theo bài ra ta có $\left|z-1\right|=2\Rightarrow IM=2\Rightarrow M\in \left(1;2\right).$
Gọi A(-2; 0) là điểm biểu diễn số phức -2, B(3; 0) là điểm biểu diễn số phức 3.
Ta có: $P=\left|z+2\right|+2\left|3-\overline{z}\right|=\left|z+2\right|+2\left|\overline{3-z}\right|=\left|z+2\right|+2\left|3-z\right|=MA+2MB.$

Ta có $P=MA+2MB\ge AB=5\Rightarrow m=5.$ Dấu “=” xảy ra khi $M\equiv B.$
Ta có: $\overrightarrow{IA}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{IB}.$
$M{A}^2={\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2=M{I}^2+I{A}^2+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}=M{I}^2+I{A}^2-3\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}$
$M{B}^2={\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2=M{I}^2+I{B}^2+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}$
$\Rightarrow M{A}^2+\frac{3}{2}M{B}^2=\frac{5}{2}M{I}^2+I{A}^2+\frac{3}{2}I{B}^2=5R^2+I{A}^2+\frac{3}{2}I{B}^2=25$
Ta có: $\left(MA+2M{B}^2\right)={\left(MA+\frac{2\sqrt{6}}{3}.\frac{\sqrt{6}}{2}MB\right)}^2=\frac{11}{3}\left(M{A}^2+\frac{3}{2}M{B}^2\right)=\frac{275}{3}.$
$\Rightarrow M=P_{max}=\frac{5\sqrt{33}}{3}.$
Vậy $M+m=\frac{5\sqrt{33}}{3}+5=\frac{15+5\sqrt{33}}{3}.$
Chọn D.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi G(a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC với A1;−5;4,B0;2;−1 và C(2; 9; 0). Giá trị của tổng a + b + c bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi G(a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC với $A\left(1;-5;4\right),B\left(0;2;-1\right)$ và
   C(2; 9; 0). Giá trị của tổng a + b + c bằng:

   A. 4                             

   Đáp án chính xác

   B. 13                           

   C. $\frac{4}{3}$                           

   D. 12

   Trả lời:

   Tọa độ điểm G là $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{1+0+2}{3}=1\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{-5+2+9}{3}=2\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{4-1+0}{3}=1\end{array}\right.\Rightarrow G\left(1;2;1\right).$
   $\Rightarrow a=1,b=2,c=1.$
   Vậy $a+b+c=1+2+1=4.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Với a, x, y là số thực dương tùy ý, a > 1 kết quả khi rút gọn biểu thức P=xlogayylogax là: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với a, x, y là số thực dương tùy ý, a > 1 kết quả khi rút gọn biểu thức $P=\frac{x^{{\log }_{a}y}}{y^{{\log }_{a}x}}$ là: 

   A. P = 1

   Đáp án chính xác

   B. P = x

   C. P = y

   D. P = a

   Trả lời:

   Ta có: $P=\frac{x^{{\log }_{a}y}}{y^{{\log }_{a}x}}=\frac{x^{{\log }_{a}y}}{x^{{\log }_{a}y}}=1.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?     
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?     

   

   A. $y=-x^3+3x^2-2$

   B. $y=x^3-3x^2-4$

   C. $y=-x^3+3x^2-4$

   Đáp án chính xác

   D. $y=-x^3-4$

   Trả lời:

   Nhánh cuối của đồ thị đi xuống nên loại đáp án B.
   Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ -4 nên loại đáp án A.
   Đồ thị đi qua điểm (2; 0) nên loại đáp án D.
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tích phân ∫−11x2020dx bằng: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tích phân $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^{2020}dx$ bằng: 

   A. $\frac{1}{2021}$

   B. $\frac{2}{2021}$

   C. $\frac{2}{2020}$

   D. 0

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Xét hàm số $f\left(x\right)=x^{2020}$ có TXĐ $D=\mathrm{ℝ}$ và $f\left(-x\right)=f\left(x\right)\forall x\in ℝ$ nên f(x) là hàm chẵn.
   Do đó $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^{2020}dx=0.$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 1; -6) và B(5; 3; -2) có phương trình tham số là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 1; -6) và B(5; 3; -2) có phương trình tham số là:

   A. $\left\{\begin{array}{l}x=6+t\\ y=4+t\\ z=2t\end{array}\right.$

   Đáp án chính xác

   B. $\left\{\begin{array}{l}x=5+2t\\ y=3+2t\\ z=-2-4t\end{array}\right.$

   C. $\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=1+t\\ z=-6-2t\end{array}\right.$

   D. $\left\{\begin{array}{l}x=6+2t\\ y=2+2t\\ z=-1+4t\end{array}\right.$

   Trả lời:

   Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;2;4\right)=2\left(1;1;2\right)$ nên đường thẳng đi qua A, B có 1 VTCP là $\overrightarrow{u}=\left(1;1;2\right).$
   $\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng cần tìm là $\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=1+t\\ z=-6+2t\end{array}\right.$
   Với t = 3 ta có $M\left(6;4;0\right)\in AB.$
   Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $\left\{\begin{array}{l}x=6+t\\ y=4+t\\ z=2t\end{array}\right..$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====