Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1;1;1), B(0;1;2), C(-2;1;4) và mặt phẳng (P): x-y+z+2=0. Tìm điểm N∈(P)  sao cho S=2NA2+NB2+NC2  đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1;1;1), B(0;1;2), C(-2;1;4) và mặt phẳng (P): x-y+z+2=0. Tìm điểm $N\in \left(P\right)$  sao cho $S=2N{A}^2+N{B}^2+N{C}^2$  đạt giá trị nhỏ nhất.

A.$N\left(-\frac{4}{3};2;\frac{4}{3}\right)$ .

B. N(-2;0;1)

C. $N\left(-\frac{1}{2};\frac{5}{4};\frac{3}{4}\right)$

D. N(-1;2;1)

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án D
Với mọi điểm I ta có: $S=2{(\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IA})}^2+{(\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IB})}^2+{(\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IC})}^2$

$=4N{I}^2+2\overrightarrow{NI}(2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})+2I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2$
Chọn điểm I sao cho: $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
$2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\iff 4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$.
Suy ra tọa độ điểm I là I(0;1;2).
Khi đó $S=4N{I}^2+2I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2,$  do đó S nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P).
Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) là:  $\left\{\begin{array}{l}x=0+t\\ y=1-t\\ z=2+t\end{array}\right.$ .
Tọa độ điểm $N(t;1-t;2+t)\in \left(P\right)\Rightarrow t-1+t+2+t+2=0\iff t=-1\Rightarrow N(-1;2;1)$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Thể tích của khối nón có chiều cao bằng a32  và bán kính đường tròn đáy bằng a2  là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thể tích của khối nón có chiều cao bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$  và bán kính đường tròn đáy bằng $\frac{a}{2}$  là:

   A. $\frac{\sqrt{3}\pi a^3}{6}$ .

   B.$\frac{\sqrt{3}\pi a^3}{24}$ .

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{3\pi a^3}{8}$ .

   D. $\frac{\sqrt{3}\pi a^3}{8}$
    

   Trả lời:

   Đáp án B
   Thể tích khối nón là:$V=\frac{1}{3}.\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}\pi a^3}{24}$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị cực đại của hàm số
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
   
   Tìm giá trị cực đại của hàm số

   A. y_CĐ=0

   B. y_{CĐ $=-\sqrt{2}$}.

   C. y_CĐ $=4.$

   Đáp án chính xác

   D. y_CĐ $=\sqrt{2}$.

   Trả lời:

   Đáp án C
   Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy giá trị cực đại của hàm số là y_CĐ $=4$ tại $x=\pm \sqrt{2}$  .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oyz) là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oyz) là

   A. $M(0;2;3)$

   Đáp án chính xác

   B. $N(1;0;3)$ .

   C. $P(1;0;0)$ .

   D.$Q(0;2;0)$ .

   Trả lời:

   Đáp án A
   Theo lý thuyết ta có: Hình chiếu của điểm $M(x;y;z)$  lên mặt phẳng $\left(Oyz\right)$   là $M^{‘}(0;y;z)$ .
   Nên $M(0;2;3)$  là hình chiếu của$A(1;2;3)$ điểm  trên mặt phẳng $\left(Oyz\right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y=ax+bcx+d(c≠0)  và có ad−bc>0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}(c\ne 0)$  và có $ad-bc>0$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

   A. Hàm số đồng biến trên R  .

   B. Hàm số đồng biến trên $ℝ\backslash \left\{-\frac{d}{c}\right\}$ .

   C. Hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-\frac{d}{c}\right)$  và $\left(-\frac{d}{c};+\infty \right)$  .

   Đáp án chính xác

   D. Hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-\frac{d}{c}\right)\cup \left(-\frac{d}{c};+\infty \right)$ .

   Trả lời:

   Đáp án C
   TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{-\frac{d}{c}\right\}.$
   Ta có: $y^{‘}=\frac{ad-bc}{{(cx+d)}^2}>\mathrm{0,}\forall x\in D($  vì $ad-bc>0)$ .
   Vậy hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-\frac{d}{c}\right)$  và $\left(-\frac{d}{c};+\infty \right)$  .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Với  là số thực dương tùy ý. Khi đó log(8a)−log(5a)  bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với  là số thực dương tùy ý. Khi đó $\log \left(8a\right)-\log \left(5a\right)$  bằng

   A. $\frac{\log \left(8a\right)}{\log \left(5a\right)}$ .

   B. $\log \left(3a\right)$ .

   C. $\log \frac{8}{5}$ .

   Đáp án chính xác

   D. $\frac{\log 8}{\log 5}$ .

   Trả lời:

   Đáp án C
   Ta có: $\log \left(8a\right)-\log \left(5a\right)=\log \frac{8a}{5a}=\log \frac{8}{5}$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====