Tính diện tích hình phẳng (phần được tô đậm) như hình vẽ dưới đây

Câu hỏi:

Tính diện tích hình phẳng (phần được tô đậm) như hình vẽ dưới đây

A. $S=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}$

Đáp án chính xác

B.$S=\frac{28}{3}$

C.$S=\frac{29}{3}$

D.$S=3\sqrt{2}-\frac{1}{3}$

Trả lời:

Đáp án ACách 1: Xét phương trình:$\begin{array}{l}{x}^2=3\iff x=\pm \sqrt{3};\\ x^2=1\iff x=1\end{array}$Quan sát hình vẽ:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2,y=\mathrm{3,}x=0$ là$S_1=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{0}{\int }}\left|x^2-3\right|dx=\left|\underset{-\sqrt{3}}{\overset{0}{\int }}\left(x^2-3\right)dx\right|=\left|\left(\frac{x^3}{3}-3x\right)\left|\begin{array}{l}0\\ -\sqrt{3}\end{array}\right.\right|=2\sqrt{3}$ (đvdt). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2,y=\mathrm{1,}x=0$ là$S_2=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left|x^2-1\right|dx=\left|\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(x^2-1\right)dx\right|=\left|\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\left|\begin{array}{l}0\\ -1\end{array}\right.\right|=\frac{2}{3}$ (đvdt). Vậy diện tích hình phẳng cần tính là $S=S_1-S_2=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}$ (đvdt).Cách 2: Ta có $y=x^3\iff \left\{\begin{array}{l}y\ge 0\\ x=\pm \sqrt{y}\end{array}\right.$. Từ hình vẽ ta thấy $x<0\Rightarrow x=-\sqrt{y}$.Diện tích hình phẳng cần tính là:$\begin{array}{l}S=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|-\sqrt{y}-0\right|dy\\ =\underset{1}{\overset{3}{\int }}\sqrt{y}dy=\frac{2\sqrt{y^3}}{3}\left|\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right.=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}\end{array}$ (đvdt).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y=x−1x−3. Xét các mệnh đề sau:(1)  Hàm số nghịch biến trên D=ℝ\3 (2) Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x=1, tiệm cận ngang là y=3.(3) Hàm số đã cho không có cực trị(4) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(3;1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. Chọn các mệnh đề đúng ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=\frac{x-1}{x-3}$. Xét các mệnh đề sau:(1)  Hàm số nghịch biến trên $D=ℝ\backslash \left\{3\right\}$ (2) Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x=1, tiệm cận ngang là y=3.(3) Hàm số đã cho không có cực trị(4) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(3;1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. Chọn các mệnh đề đúng ?

   A. (1), (3), (4)

   B. (3), (4)

   Đáp án chính xác

   C. (2), (3), (4)

   D. (1), (4)

   Trả lời:

   Đáp án BSai lầm thường gặp: Tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{3\right\}$.Đạo hàm $y‘=\frac{-2}{{\left(x-3\right)}^2}\mathrm{,0,}\forall x\in D\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $ℝ\backslash \left\{3\right\}$, hoặc làm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;3\right)\cup \left(3;+\infty \right)$. Hàm số không có cực trị.Tiệm cận đứng: x=3; tiệm cận ngang:  y=1. Đồ thị hàm số nhận giao điểm  $I\left(3;1\right)$  của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.Từ đó nhiều học sinh kết luận các mệnh đề $\left(1\right),\left(3\right),\left(4\right)$ đúng và chọn ngay A.Tuy nhiên đây là phương án sai.Phân tích sai lầm:Mệnh đề (1) sai, sửa lại: hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;3\right)$ và $\left(3;+\infty \right)$. Học sinh cần nhớ rằng, ta chỉ học định nghĩa hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng, đoạn, nửa khoảng; chứ không có trên những khoảng hợp nhau.Mệnh đề (2) sai. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x=3, một tiệm cận ngang là y=1.Mệnh đề $\left(3\right),\left(4\right)$ đúng.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số y=x. Chọn mệnh đề đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=\left|x\right|$. Chọn mệnh đề đúng:

   A. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 và không đạt cực tiểu tại x=0

   B. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nhưng đạt cực tiểu tại x=0

   Đáp án chính xác

   C. Hàm số  có đạo hàm tại x=0 nên đạt cực tiểu tại x=0

   D. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nhưng không đạt cực tiểu tại x=0

   Trả lời:

   Đáp án BSai lầm thường gặp: Ta thấy $\begin{array}{l}y=\left|x\right|=\sqrt{x^2},\\ y‘=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\left|x\right|}=\left\{\begin{array}{l}\text{1 khi }x>0\\ -1\text{ khi }x<0\end{array}\right.\end{array}$Từ đó học sinh kết luận ngay hàm số không có đạo hàm tại x=0 và cũng không đạt cực trị tại điểm x=0. Nhiều học sinh sẽ chọn ngay phương án A. Đây là đáp án sai.Phân tích sai lầm: Nhiều học sinh ngộ nhận ngay điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị là “Nếu hàm số y=f(x) đạt cực trị tại $x_0$  thì $f‘\left(x_0\right)=0$  ”, từ đó nếu $f‘\left(x_0\right)\ne 0$ thì hàm số không đạt cực trị tại điểm $x_0$ . Tuy nhiên, điều này là sai lầm vì định lý trên chiều ngược lại có thể không đúng, tức chỉ đúng với một chiều.Vậy, đối với hàm số đã cho ta có $y‘=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\left|x\right|}=\left\{\begin{array}{l}\text{1 khi }x>0\\ -1\text{ khi }x<0\end{array}\right.$.Dễ thấy đạo hàm y’ đổi dấu qua điểm x=0 nên x=0 là điểm cực trị của hàm số, ở đây x=0là điểm cực tiểu của hàm số.Quan sát đồ thị hàm số $y=\left|x\right|$ hình vẽ bên để hiểu rõ hơn về điểm cực trị của hàm số này.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Hàm số y=x3−3×2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y=x^3-3x^2$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

   A.$\left(-1;1\right)$

   B.$\left(-\infty ;1\right)$

   C.$\left(0;2\right)$

   Đáp án chính xác

   D.$\left(2;+\infty \right)$

   Trả lời:

   Đáp án CĐạo hàm $\begin{array}{l}y‘=3x^2-6x=3x\left(x-2\right);\\ y‘=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.\end{array}$Quan sát bảng biến thiên, ta thấy $y‘<\mathrm{0,}\forall x\in \left(0;2\right)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y=4−x2x2−3x−4 là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2-3x-4}$ là

   A. 0.

   B. 3

   C. 1

   Đáp án chính xác

   D. 2

   Trả lời:

   Đáp án CTập xác định: $D=\left[-2;2\right]\backslash \left\{-1\right\}$. Ta thấy $y=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}$.Ta có  $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{4-x^2}}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}=+\infty$ và $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{4-x^2}}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}=-\infty$ nên đồ thị có đúng một đường tiệm cận đứng là x= -1.Do tập xác định $D=\left[-2;2\right]\backslash \left\{-1\right\}$ nên ta không xét được $\underset{x\to -\infty }{\lim }y$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }y$. Vậy hàm số không có đường tiệm cận ngang.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tổng các nghiệm của phương trình 22x−3−3.2x−2+1=0 là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tổng các nghiệm của phương trình $2^{2x-3}-{3.2}^{x-2}+1=0$ là

   A. 6

   B. 3

   Đáp án chính xác

   C. 5

   D. -4 

   Trả lời:

   Đáp án BCách 1: Tư duy tự luận$\begin{array}{l}{2}^{2x-3}-{3.2}^{x-2}+1=0\\ \iff \frac{1}{8}.{\left(2^x\right)}^2-\frac{3}{4}{.2}^x+1=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}{2}^x=4\\ 2^x=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=1\end{array}\right.\end{array}$ Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1+2=3.Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tayVậy phương trình có hai nghiệm x=1 và x=2. Tổng các nghiệm là 1+2=3.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====