Câu hỏi:
Gọi \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}2x.{\cos ^3}2x\) thỏa \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\). Giá trị \(F\left( {2019\pi } \right)\) là:
A. \(F\left( {2019\pi } \right) = – \frac{1}{{15}}\)
Đáp án chính xác
B. \(F\left( {2019\pi } \right) = 0\)
C. \(F\left( {2019\pi } \right) = – \frac{2}{{15}}\)
D. \(F\left( {2019\pi } \right) = \frac{1}{{15}}\)
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Đặt \(u = \sin 2x \Rightarrow du = 2\cos 2xdx \Rightarrow \frac{1}{2}du = \cos 2xdx\)
Ta có \(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {{{\sin }^2}2x.{{\cos }^3}2xdx} = \frac{1}{2}\int {{u^2}.\left( {1 – {u^2}} \right)du} = \frac{1}{2}\int {\left( {{u^2} – {u^4}} \right)du} \\\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{6}{u^3} – \frac{1}{{10}}{u^5} + C = \frac{1}{6}{\sin ^3}2x – \frac{1}{{10}}{\sin ^5}2x + C\end{array}\)
\(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{6}{\sin ^3}\frac{\pi }{2} – \frac{1}{{10}}{\sin ^5}\frac{\pi }{2} + C = 0 \Leftrightarrow C = – \frac{1}{{15}}\)
Vậy \(F\left( x \right) = \frac{1}{6}{\sin ^3}2x – \frac{1}{{10}}{\sin ^5}2x – \frac{1}{{15}}\)
Do đó \(F\left( {2019\pi } \right) = – \frac{1}{{15}}\)
Chọn A.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====