Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [-20; 20] sao cho hàm số y=−2x+2+ax2−4x+5 có cực đại?

Câu hỏi:

Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [-20; 20] sao cho hàm số $y=-2x+2+a\sqrt{x^2-4x+5}$ có cực đại?

A. 18                           

Đáp án chính xác

B. 17                           

C. 36                           

D. 35

Trả lời:

TXĐ: $D=ℝ.$
Ta có $y‘=-2+a.\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}.$
$y“=a.\frac{\sqrt{x^2-4x+5}-\left(x-2\right).\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}}{x^2-4x+5}$
$y“=a.\frac{x^2-4x+5-{\left(x-2\right)}^2}{\left(x^2-4x+5\right)\sqrt{x^2-4x+5}}=\frac{1}{\left(x^2-4x+5\right)\sqrt{x^2-4x+5}}$
 
+ TH1: $a=0\Rightarrow y=-2x+2$ nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ nên hàm số không có cực đại $\Rightarrow a=0$ không thỏa mãn.
+ TH2: $a\ne 0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a>0\Rightarrow y‘>0\\ a<0\Rightarrow y‘<0\end{array}\right.$
$\Rightarrow$ Hàm số đã cho có cực đại $\iff a<0$ và phương trình y’ = 0 có nghiệm.
Đặt t = x – 2 ta có $y‘=0\iff -2+a.\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}=0\iff at=2\sqrt{t^2+1}$
$\iff \left\{\begin{array}{l}t\le 0\\ a^2{t}^2=4t^2+4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t\le 0\\ \left(a^2-4\right)t^2=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t\le 0\\ t^2=\frac{4}{a^2-4}\left(a\ne \pm 2\right)\end{array}\right.\left(*\right)$
 
$\Rightarrow$ Hệ phương trình (*) có nghiệm $\iff \frac{4}{a^2-4}\ge 0\iff a^2-4>0\iff \left[\begin{array}{l}a>2\\ a<-2\end{array}\right..$
Kết hợp điều kiện $a<0,a\in \left[-20;20\right]$ ta có $a\in \left[-20;-2\right).$
Mà $a\in \mathbb{Z}\Rightarrow a\in \left\{-20;-19;-18;\mathrm{\dots };-3\right\}$
Vậy có 18 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau: Số nghiệm thực của phương trình 2fx−5=0 là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
   
   Số nghiệm thực của phương trình $2f\left(x\right)-5=0$ là:

   A. 4                                  

   B. 1                             

   C. 3                             

   D. 2

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Số nghiệm của phương trình f(x) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m. 
   Cách giải:
   Ta có: $2f\left(x\right)-5=0\iff f\left(x\right)=\frac{5}{2}$ nên số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng $y=\frac{5}{2}.$
   Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng $y=\frac{5}{2}.$ cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 2 điểm phân biệt.
   Vậy phương trình $2f\left(x\right)-5=0$ có 2 nghiệp phân biệt.
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau: Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau:
   
   Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

   A. $\left(-\infty ;0\right)$

   B. (0; 2)

   Đáp án chính xác

   C. $\left(2;+\infty \right)$

   D. (-2; 2)

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Dựa vào đồ thị xác định các khoảng mà đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải.
   Cách giải:
   Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên (0; 2)
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Thể tích của khối trụ có bán kính đáy r, chiều cao h bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thể tích của khối trụ có bán kính đáy r, chiều cao h bằng:

   A. $\frac{4}{3}\pi r^{2}h$

   B. $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

   C. $\pi r^{2}h$

   Đáp án chính xác

   D. $2\pi rh$

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Thể tích của khối trụ có bán kính đáy r chiều cao h bằng: $V=\pi r^{2}h.$
   Cách giải:
   Thể tích của khối trụ có bán kính đáy r chiều cao h bằng: $V=\pi r^{2}h.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số fx=x3−3x+2 trên đoạn [-3; 3] bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x+2$ trên đoạn [-3; 3] bằng:

   A. 20                           

   B. 0                             

   C. 4                             

   D. -3

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phương pháp:
   – Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm $x_i\in \left[-3;3\right].$
   – Tính $y\left(-3\right),y\left(3\right),y\left(x_i.\right)$ 
   – Kết luận: $\underset{\left[-3;3\right]}{\min }f\left(x\right)=\min \left\{y\left(-3\right);y\left(3\right);y\left(x_i\right)\right\}.$
   Cách giải:
   Ta có $f\left(x\right)=x^3-3x+2\Rightarrow f‘\left(x\right)=3x^2-3.$
   $f‘\left(x\right)=0\iff x^2-1=0\iff x=\pm 1\in \left[-3;3\right].$
   Ta có $f\left(-3\right)=-16,f\left(3\right)=20,f\left(-1\right)=4,f\left(1\right)=0.$
   Vậy $\underset{\left[-3;3\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(-3\right)=-16.$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d:x−12=y+23=z−54 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-5}{4}$ 

   A. M(1; 2; 5)

   B. N(1; -2; 5)

   Đáp án chính xác

   C. Q(-1; 2; -5)

   D. P(2; 3; 4)

   Trả lời:

   Phương pháp:
   Đường thẳng $d:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ đi qua điểm $A\left(x_0;y_0;z_0\right).$
   Cách giải:
   Đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-5}{4}$ đi qua điểm N(1; -2; 5).
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====