Cho số phức z thỏa mãn |z+1|=3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T=|z+4−i|+|z−2+i|

Câu hỏi:

Cho số phức z thỏa mãn $|z+1|=\sqrt{3}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $T=|z+4-i|+|z-2+i|$

A. $2\sqrt{46}$  .

B. $2\sqrt{13}$ .

Đáp án chính xác

C.$2\sqrt{26}$ .

D. $2\sqrt{23}$ .

Trả lời:

Đáp án B
+ Số phức $z=x+yi(x;y\in R)$  có mô đun $\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}$
+ Sử dụng BĐT Bunhiacốpxki với hai bộ số $(a;b),(x;y)$   ta có ${(ax+by)}^2\le (a^2+b^2)(x^2+y^2)$
+ Dấu  xảy ra khi $\frac{x}{a}=\frac{b}{y}$ .
Gọi số phức $z=x+yi(x;y\in R)$
Theo đề bài $|z+1|=\sqrt{3}\iff |x+1+yi|=\sqrt{3}\iff {(x+1)}^2+y^2=3$
 Ta có $T=|z+4-i|+|z-2+i|=\left|x+4+(y-1)i\right|+\left|x-2+(y+1)i\right|$
$=\sqrt{{(x+4)}^2+{(y-1)}^2}+\sqrt{{(x-2)}^2+{(y+1)}^2}$

Áp dụng BDT Bunhiacốpxki ta có:
$T^2={(\sqrt{{(x+4)}^2+{(y-1)}^2}+\sqrt{{(x-2)}^2+{(y+1)}^2})}^2\le (1^2+1^2)[{(x+4)}^2+{(y-1)}^2+{(x-2)}^2+{(y+1)}^2]$

$T^2\le 2(2x^2+2y^2+4x+22)=4({(x+1)}^2+y^2+10)=52$ (vì ${(x+1)}^2+y^2=3)$
Do đó $T\le 2\sqrt{13}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{l}{(x+4)}^2+{(y-1)}^2={(x-2)}^2+{(y+1)}^2\\ {(x+1)}^2+y^2=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=3x+3\\ {(x+1)}^2+{(3x+3)}^2=3\end{array}\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{\sqrt{10}}\\ y=\frac{9}{\sqrt{10}}+3\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{\sqrt{10}}\\ y=-\frac{9}{\sqrt{10}}+3\end{array}\end{array}$

Vậy $T_{\max }=2\sqrt{13}$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho các số thực dương x,a,b . Khẳng định nào dưới đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho các số thực dương x,a,b . Khẳng định nào dưới đây đúng?

   A. ${\left(x^a\right)}^b=x^{\frac{b}{a}}$ .

   B. ${\left(x^a\right)}^b=x^{ab}$ .

   Đáp án chính xác

   C. ${\left(x^a\right)}^b=x^{a^b}$ .

   D. ${\left(x^a\right)}^b=x^{a+b}$ .

   Trả lời:

   Đáp án B
   Ta có: ${\left(x^a\right)}^b=x^{ab}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính đáy và chiều cao đều bằng 5 là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính đáy và chiều cao đều bằng 5 là:

   A. $50\pi$ .

   B. $250\pi$ .

   C. $25\pi$ .

   D. $125\pi$ .

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Thể tích khối trụ là $V=\pi {.5}^2.5=125\pi$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=2x−1x−2  là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x-2}$  là:

   A. $y=2$ .

   B. $x=\frac{1}{2}$ .

   C. $y=\frac{1}{2}$ .

   D. $x=2$ .

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}(ad-bc\ne 0)$  có đường tiệm cận đứng là $x=-\frac{d}{c}$ .
   Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x-2}$  có đường TCĐ là $x=2$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)= cos2x là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Họ nguyên hàm của hàm số f(x)= cos2x là:

   A. $-2\sin 2x+C$ .

   B. $-\frac{1}{2}\sin 2x+C$ .

   C. $\frac{1}{2}\sin 2x+C$ .

   Đáp án chính xác

   D. $\sin 2x+C$ .

   Trả lời:

   Đáp án C
   $\int \cos (ax+b)dx=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C$

   Ta có $\int f\left(x\right)dx=\int \cos 2xdx=\frac{1}{2}\sin 2x+C$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho cấp số nhân (un)  có số hạng đầu u1=2  và công bội q=3 . Số hạng thứ 5 bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$  có số hạng đầu $u_1=2$  và công bội $q=3$ . Số hạng thứ 5 bằng

   A. 96.

   B. 48.

   C. 486.

   D. 162.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Số hạng tổng quát của CSN: $u_n=u_1.q^{n-1}$ .
   Ta có: $u_1=\mathrm{2,}q=3\Rightarrow u_5=u_1.q^4={2.3}^4=162$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====