Cho hình nón N1 có đỉnh S, chiều cao h. Một hình nón N2 có đỉnh là tâm của đáy N1 và có đáy là một thiết diện song song với đáy của N2 như hình vẽ. Khối nón N2 có thể tích lớn nhất khi chiều cao x bằng

Câu hỏi:

Cho hình nón $\left(N_1\right)$ có đỉnh S, chiều cao h. Một hình nón $\left(N_2\right)$ có đỉnh là tâm của đáy $\left(N_1\right)$ và có đáy là một thiết diện song song với đáy của $\left(N_2\right)$ như hình vẽ.

Khối nón $\left(N_2\right)$ có thể tích lớn nhất khi chiều cao x bằng

A. $\frac{h}{2}$

B. $\frac{h}{3}$

Đáp án chính xác

C. $\frac{2h}{3}$

D. $\frac{h\sqrt{3}}{3}$

Trả lời:

Chọn B

Xét mặt cắt qua trục hình nón và kí hiệu như hình vẽ. Với O, I lần lượt là tâm đáy của hình nón $\left(N_1\right),\left(N_2\right)$; R, r lần lượt là các bán kính của hai đường tròn đáy của $\left(N_1\right),\left(N_2\right)$
Ta có $\frac{SI}{SO}=\frac{r}{R}\iff \frac{h-x}{h}=\frac{r}{R}\to r=\frac{R\left(h-x\right)}{h}$
Thể tích khối nón$\left(N_2\right)$ là
$V_{\left(N_2\right)}=\frac{1}{3}\pi r^{2}x=\frac{1}{3}\pi \frac{R^2{\left(h-x\right)}^2}{h^2}x=\frac{\pi R^2}{3h^2}.x{\left(h-x\right)}^2$
Xét hàm $f\left(x\right)=x{\left(h-x\right)}^2=x^3-2h{x}^2+h^{2}x$ trên (0;h). Ta có
$f^{‘}\left(x\right)=3x^2-4hx+h^2;\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=h\\ x=\frac{h}{3}\end{array}\right.$
Lập bảng biến thiên ta có

Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0;h) tại $x=\frac{h}{3}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====