Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm hình vuông A'B'C'D' và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO=2MI. Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC'D') và (MAB) bằng:

Câu hỏi:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO=2MI. Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng:

A.$\frac{6\sqrt{85}}{85}$

B.$\frac{6\sqrt{13}}{65}$

C.\(\frac{{7\sqrt {85} }}{{85}}\)

Đáp án chính xác

D.$\frac{17\sqrt{13}}{65}$

Trả lời:

Phương pháp giải:
– Sử dụng định lí: Góc giữa hai mặt phẳng là giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
– Xác định góc giữa hai mặt phẳng, sử dụng định lí Pytago và định lí Côsin trong tam giác để tính góc.
Giải chi tiết:

Gọi E,F lần lượt là trung điểm của C’D’,AB.
Xét $\Delta MI{C}^{‘}$ và $\Delta MI{D}^{‘}$ có MI chung, Ic’=Id’ nên $\Delta MI{C}^{‘}=\Delta MI{D}^{‘}$(2 cạnh góc vuông)
$\Rightarrow M{C}^{‘}=M{D}^{‘}\Rightarrow \Delta M{C}^{‘}{D}^{‘}$cân tại E $\Rightarrow ME\perp C^{‘}{D}^{‘}$.
Chứng minh tương tự ta có $MF\perp AB$.
Xét (MC’D’) và (MAB) có M chung, $\{\begin{array}{l}{C}^{‘}{D}^{‘}\subset \left(M{C}^{‘}{D}^{‘}\right)\\ AB\subset \left(MAB\right)\\ C^{‘}{D}^{‘}//AB\end{array}$
$\Rightarrow \left(M{C}^{‘}{D}^{‘}\right)\cap \left(MAB\right)=Mx//C^{‘}{D}^{‘}//AB$.
Lại có $\{\begin{array}{l}ME\perp C^{‘}{D}^{‘}\\ MF\perp AB\end{array}\left(cmt\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}ME\perp Mx\\ MF\perp Mx\end{array}$.
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {MC’D’} \right) \cap \left( {MAB} \right) = Mx}\\{ME \subset \left( {MC’D’} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ME \bot Mx}\\{MF \subset \left( {MAB} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} MF \bot Mx}\end{array}} \right.\)
$\Rightarrow \angle (\left(M{C}^{‘}{D}^{‘}\right);\left(MAB\right))=\angle (ME;MF)$.
Giả sử ABCD.A’B’C’D’ là khối lập phương có cạnh bằng 1.
Ta có $MO=2MI\Rightarrow MI=\frac{1}{3}OI=\frac{1}{6}$.
Áp dụng định lí Pytago ta có: $M{C}^{‘}=\sqrt{M{I}^2+I{C^{‘}}^2}=\sqrt{{\left(\frac{1}{6}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{19}}{6}$
$ME=\sqrt{M{C^{‘}}^2-E{C^{‘}}^2}=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{19}}{6}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{10}}{6}$
Tương tự ta có $MB=\sqrt{M{J}^2+J{B}^2}=\sqrt{{\left(\frac{5}{6}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{43}}{6}$
$MF=\sqrt{M{B}^2-B{F}^2}=\frac{\sqrt{34}}{6}$
Dễ thấy BC’EF là hình bình hành nên $EF=B{C}^{‘}=\sqrt{2}$.
Áp dụng định lí Côsin trong tam giác MEF ta có:
$\cos \angle EMF=\frac{M{E}^2+M{F}^2-E{F}^2}{2ME.MF}$$=\frac{{\left(\frac{\sqrt{10}}{6}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{34}}{6}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}{2.\frac{\sqrt{10}}{6}.\frac{\sqrt{34}}{6}}=\frac{-7\sqrt{85}}{85}$
Mà góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn, có giá trị côsin là số dương.
Vậy $\cos \angle (\left(M{C}^{‘}{D}^{‘}\right);\left(MAB\right))=\frac{7\sqrt{85}}{85}$.
Đáp án C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Thể tích khối cầu có bán kính r là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thể tích khối cầu có bán kính $r$ là:

   A. $\frac{4}{3}\pi r^3$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{1}{3}\pi r^3$

   C. $\frac{4}{3}\pi r^2$

   D. $4\pi r^3$

   Trả lời:

   Phương pháp giải:
   Thể tích khối cầu có bán kính $r$ là $\frac{4}{3}\pi r^3$.
   Giải chi tiết:
   Thể tích khối cầu có bán kính $r$là $\frac{4}{3}\pi r^3$.
   Đáp án A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu u1=1, công bội q=2. Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=1$, công bội $q=2$. Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là:

   A. 9

   B. 3

   C. 5

   D. 7

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phương pháp giải:
   Tổng n số hạng đầu tiên của CSN có số hạng đầu $u_1$, công bội q là $S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$.
   Giải chi tiết:
   Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân có $u_1=1$và $q=2$ là: $S_3=\frac{u_1(1-q^3)}{1-q}=\frac{1.(1-2^3)}{1-2}=7$
   Đáp án D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
   

   A.$y={\log }_{3}x$

   B.$y={\log }_{\frac{1}{3}}x$

   C.$y=3^x$

   Đáp án chính xác

   D.$y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$

   Trả lời:

   Phương pháp giải:
   – Hàm số $y={\log }_{a}x(0<a\ne 1)$ có TXĐ $D=(0;+\infty )$.
   + Khi $a>1$, hàm số đồng biến trên D.
   + Khi 0 < a < 1, hàm số nghịch biến trên D.
   – Hàm số $y=a^x(0<a\ne 1)$ có TXĐ $D=(0;+\infty )$.
   + Khi $a>1$, hàm số đồng biến trên D.
   + Khi $0<a<1$, hàm số nghịch biến trên D.
   Giải chi tiết:
   Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên chỉ có đáp án C thỏa mãn, tức là hàm số $y=3^x$
   Đáp án C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm tập nghiệm S của phương trình (20202021)4x=(20212020)2x−6.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tập nghiệm S của phương trình ${\left(\frac{2020}{2021}\right)}^{4x}={\left(\frac{2021}{2020}\right)}^{2x-6}$.

   A.$S=\{-3\}$

   B.$S=\left\{3\right\}$

   C.$S=\{-1\}$

   D.$S=\left\{1\right\}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Phương pháp giải:
   – Sử dụng công thức ${\left(\frac{1}{a}\right)}^m=a^{-m}$.
   – Giải phương trình mũ dạng $a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)=g\left(x\right)$.
   Giải chi tiết:
   Ta có:
   ${\left(\frac{2020}{2021}\right)}^{4x}={\left(\frac{2021}{2020}\right)}^{2x-6}$
   $\iff {\left(\frac{2020}{2021}\right)}^{4x}={\left(\frac{2020}{2021}\right)}^{6-2x}$
   $\iff 4x=6-2x\iff 6x=6\iff x=1$
   Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{1\right\}$.
   Đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=1log3(x2−2x+3m)có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{{\log }_3(x^2-2x+3m)}}$có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

   A.$[\frac{2}{3};10]$

   B.$(\frac{2}{3};+\infty )$

   Đáp án chính xác

   C.$[\frac{2}{3};+\infty )$

   D.$(-\infty ;\frac{2}{3})$

   Trả lời:

   Phương pháp giải:
   – Hàm căn thức xác định khi biểu thức trong căn không âm.
   – Hàm $y={\log }_{a}f\left(x\right)$xác định khi và chỉ khi $f\left(x\right)$ xác định và $f\left(x\right)>0$.
   Giải chi tiết:
   Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{{\log }_3(x^2-2x+3m)}}$có TXĐ là \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi:
   $\{\begin{array}{l}{\log }_3(x^2-2x+3m)>0\forall x\in ℝ\\ x^2-2x+3m>0\forall x\in ℝ\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2-2x+3m>1\forall x\in ℝ\\ x^2-2x+3m>0\forall x\in ℝ\end{array}$
   $\iff x^2-2x+3m>1\forall x\in ℝ\iff x^2-2x-1>-3m\forall x\in ℝ(*)$
   Đặt $f\left(x\right)=x^2-2x-1$ ta có $f^{‘}\left(x\right)=2x-2=0\iff x=1$.
   BBT:
   
   Dựa vào BBT và từ (*) ta có $f\left(x\right)>-3m\forall x\in ℝ$$\iff -3m<\underset{ℝ}{min}f\left(x\right)=-2\iff m>\frac{2}{3}$.
   Vậy $m\in (\frac{2}{3};+\infty )$.
   Đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====