Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, các mặt bên tạo với đáy một góc 60°. Diện tích Smc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

Câu hỏi:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, các mặt bên tạo với đáy một góc 60°. Diện tích S_mc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

A. $S_{mc}=\frac{25\pi a^2}{3}.$

Đáp án chính xác

B. $S_{mc}=\frac{32\pi a^2}{3}.$

C. $S_{mc}=\frac{8\pi a^2}{3}.$

D. $S_{mc}=\frac{a^2}{12}.$

Trả lời:

Chọn A

Trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là SO. Mặt phẳng trung trực của SB cắt SO tại I, cắt SB tại K thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Gọi H là trung điểm BC thì $\widehat{SHO}={60}^o.$
Xét tam giác vuông SHO, ta có $\tan {60}^o=\frac{SO}{OH}\Rightarrow SO=a\sqrt{3}.$
 Từ đó suy ra $SB=\sqrt{S{O}^2+O{B}^2}=\sqrt{3a^2+2a^2}=a\sqrt{5}.$

Ta có $\Delta SKI\backsim \Delta SOB\left(g.g\right).$
$\Rightarrow \frac{SK}{SO}=\frac{SI}{SB}\Rightarrow SI=\frac{SK.SB}{SO}\Rightarrow SI=\frac{a\sqrt{5}.\frac{a\sqrt{5}}{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{5a}{2\sqrt{3}}=\frac{5a\sqrt{3}}{6}.$

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S_{mc}=4\pi R^2=4\pi \frac{75a^2}{36}=\frac{25\pi a^2}{3}.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====