Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a,  hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AD, SH=a32. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a,  hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của $AD, SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?

A. $\frac{16\pi a^2}{3}.$

Đáp án chính xác

B. $\frac{16\pi a^2}{9}.$

C. $\frac{4\pi a^3}{3}.$

D. $\frac{4\pi a^2}{3}.$

Trả lời:

Chọn A

Gọi I là giao điểm của AC và BC, qua I dựng đương thẳng d song song với $SH\Rightarrow d\perp \left(ABCD\right).$
Gọi M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD, qua M kẻ đường thẳng d’ vuông góc với mp(SAD), d’ cắt d tại O => O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính bằng $R=OS=\sqrt{M{O}^2+M{S}^2}.$
Với $OM=IH=\frac{AB}{2}=a, MS=r$ (r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB).
Lại có, $△$SAD cân tại A, cạnh AD = a, đường cao $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ suy ra tam giác SAD đều $r=AM=\frac{2}{3}SH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow R^2=\frac{4a^2}{3}$ (R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD).
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng $S=4\pi R^2=\frac{16\pi a^2}{3}.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====