Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(H\) nằm trong tam giác \(ABC\) sao cho \(\widehat {AHB} = {150^0},\widehat {BHC} = {120^0},\widehat {CHA} = {90^0}.\) Biết tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp \(S.HAB,S.HBC,S.HCA\) là \(\frac{{124}}{3}\pi .\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABC.\)
A.\(\frac{9}{2}.\)
B.\(\frac{4}{3}.\)
Đáp án chính xác
C.\(4{a^3}.\)
D.4.
Trả lời:
Đáp án B.
Gọi \({R_1},{R_2},{R_3}\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(\Delta HAB,\Delta HBC,\Delta HAC\)
Áp dụng định lý sin vào các \(\Delta HAB,\Delta HBC,\Delta HAC\) ta có:
\(AB = 2{R_1}\sin \widehat {AHB} \Rightarrow {R_1} = \frac{{AB}}{{2\sin \widehat {AHB}}} = 2.\)
\(BC = 2{R_2}\sin \widehat {BHC} \Rightarrow {R_2} = \frac{{BC}}{{2\sin \widehat {BHC}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\)
\(AC = 2{R_3}\sin \widehat {CHA} \Rightarrow {R_1} = \frac{{AC}}{{2\sin \widehat {CHA}}} = 1.\)
Gọi \({r_1},{r_2},{r_3}\) lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện \(S.HAB,S.HBC,S.HAC.\)
Nhận xét: Trong hình chóp \(S.HAB\) với \(SH \bot \left( {HAB} \right)\) ta có \(r_1^2 = R_1^2 + {\left( {\frac{{SH}}{2}} \right)^2}.\)
Khi đó \(r_1^2 = R_1^2 + {\left( {\frac{{SH}}{2}} \right)^2};r_2^2 = R_2^2 + {\left( {\frac{{SH}}{2}} \right)^2};r_3^2 = R_3^2 + {\left( {\frac{{SH}}{2}} \right)^2}\).
Suy ra \(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = R_1^2 + R_2^2 + R_3^2 + \frac{{3.S{H^2}}}{4}.\)
Do tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp \(S.HAB,S.HBC,S.HCA\) là \(\frac{{124}}{3}\pi \)
Ta có: \(4\pi \left( {r_1^2 + r_2^2 + r_3^2} \right) = \frac{{124}}{3}\pi \Leftrightarrow r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = \frac{{31}}{3}.\)
Khi đó: \(\frac{{31}}{3} = R_1^2 + R_2^2 + R_3^2 + \frac{{3.S{H^2}}}{4} \Leftrightarrow S{H^2} = \frac{4}{3}\left( {\frac{{31}}{3} – R_1^2 + R_2^2 + R_3^2} \right) = \frac{{16}}{3} \Rightarrow SH = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}.\)
Vậy thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{4\sqrt 3 }}{3}.\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{4}{3}\) (đvtt).
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là \(M,m.\) Giá trị biểu thức \(P = {M^2} + {m^2}\) bằng
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là \(M,m.\) Giá trị biểu thức \(P = {M^2} + {m^2}\) bằngA.\(P = \frac{1}{2}.\)
Đáp án chính xác
B.\(P = 1.\)
C.\(P = \frac{1}{4}.\)
D. \(P = 2.\)
Trả lời:
Đáp án A.
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(M = \frac{1}{2},m = – \frac{1}{2}.\)
Vậy \(P = {M^2} + {m^2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( { – \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}.\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 2.\) Tính \({u_3}?\)
Câu hỏi:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 2.\) Tính \({u_3}?\)
A.\({u_3} = 8.\)
Đáp án chính xác
B.\({u_3} = 4.\)
C.\({u_3} = 18.\)
D. \({u_3} = 6.\)
Trả lời:
Đáp án A.
Ta có: \({u_3} = {u_1}.{q^2} = {2.2^2} = 8.\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trong khoảng nào dưới đây?
Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trong khoảng nào dưới đây?A.\(\left( { – 2;0} \right).\)
Đáp án chính xác
B.\(\left( {0; + \infty } \right).\)
C.\(\left( { – \infty ; – 2} \right).\)
D. \(\left( { – 3;1} \right).\)
Trả lời:
Đáp án A.
\(f’\left( x \right) >0\) với \(x \in \left( { – 2;0} \right)\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – 2;0} \right).\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và hai mặt bên \(\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\) biết \(SC = a\sqrt 3 .\)
Câu hỏi:
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và hai mặt bên \(\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\) biết \(SC = a\sqrt 3 .\)
A.\(\frac{{2{a^3}\sqrt 6 }}{9}.\)
B.\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.\)
Đáp án chính xác
C.\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.\)
Trả lời:
Đáp án B.
\(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) nên \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)
Hai mặt bên \(\left( {SAB} \right),\left( {SAC} \right)\) cùng vuông góc với mặt đáy nên \(SA \bot \left( {ABC} \right).\)
Trong tam giác vuông \(SAC\) ta có: \(SA = \sqrt {S{C^2} – A{C^2}} = \sqrt {3{a^2} – {a^2}} = a\sqrt 2 .\)
Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) là \(V = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}\) là đúng?
Câu hỏi:
Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}\) là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
B. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { – \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Đáp án chính xác
D. Hàm số đồng biến trên \(\left( { – \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Trả lời:
Đáp án C.
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Ta có \(y’ = – \frac{3}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \in D.\) Suy ra, hàm số nghịch biến trên \(\left( { – \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====