Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy a2, cạnh bên 2a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNPQ

Câu hỏi:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy $a\sqrt{2},$ cạnh bên 2a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNPQ

A. $R=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$

B. $R=a.$

Đáp án chính xác

C. $R=\frac{a\sqrt{6}}{4}.$

D. $R=\frac{a\sqrt{10}}{4}.$

Trả lời:

Chọn B

Ta có $\left(ABCD\right)//\left(MNPQ\right).$ Gọi $\left\{O\right\}=AC\cap BD.$
Mà S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên $SO\perp \left(ABCD\right).$ Nên SO là trục của hai đáy (ABCD) và (MNPQ).
Trong mặt phẳng (SAO) kẻ đường trung trực d của đoạn thẳng AM cắt SA, SO tại H, I.
Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCDMNPQ và bán kính là IA.
Ta có $SA=SB=SC=SD=2a$
$AB=BC=CD=DA=a\sqrt{2}.$
Lại có $SH=\frac{3}{4}SA=\frac{3}{4}.2a=\frac{3a}{2}\Rightarrow HA=\frac{1}{4}SA=\frac{a}{2}.$
$\Rightarrow AC=AB\sqrt{2}=2a\Rightarrow AO=a\Rightarrow SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=a\sqrt{3}.$
 
Mặt khác $\Delta SHI\backsim \Delta SOA\left(g.g\right)\Rightarrow \frac{HI}{OA}=\frac{SH}{SO}\Rightarrow HI=\frac{OA.SH}{SO}=\frac{a.\frac{3a}{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}.$
Bán kính mặt cầu cần tìm là $R=AI=\sqrt{H{I}^2+H{A}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=a.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====