Cho cấp số cộng an , cấp số nhân bn  thỏa mãn a2>a1≥0, b2>b1≥1  và hàm số fx=x3−3x sao cho fa2+2=fa1  và flog2b2+2=flog2b1 . Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho bn>2019an .

Câu hỏi:

Cho cấp số cộng $\left(a_n\right)$ , cấp số nhân $\left(b_n\right)$  thỏa mãn $a_2>a_1\ge \mathrm{0,}{b}_2>b_1\ge 1$  và hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x$ sao cho $f\left(a_2\right)+2=f\left(a_1\right)$  và $f\left({\log }_2{b}_2\right)+2=f\left({\log }_2{b}_1\right)$ . Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho $b_n>2019a_n$ .

A. 17.        

B. 14.

C. 15.

D. 16.

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án D
Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x$  trên $\left[0;+\infty \right)$ .
Ta có $f‘\left(x\right)=3x^2-3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\in \left[0;+\infty \right)\\ x=-1\notin \left[0;+\infty \right)\end{array}\right..$
Bảng biến thiên hàm số f(x) trên $\left[0;+\infty \right)$  như sau:

Vì $a_2>0$  nên $f\left(a_2\right)\ge -2\Rightarrow f\left(a_1\right)=f\left(a_2\right)+2\ge 0\left(1\right).$
Giả sử $a_1\ge 1$ , vì $f\left(x\right)$  đồng biến trên $\left[1;+\infty \right)$  nên $f\left(a_2\right)>f\left(a_1\right)$  suy ra $f\left(a_2\right)+2>f\left(a_1\right)$  vô lý.
Vậy $a_1\in \left[0;1\right)$  do đó $-2\le f\left(a_1\right)\le 0\text{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}\left(2\right).$
Từ (1), (2) ta có: $\left\{\begin{array}{l}f\left(a_1\right)=0\\ f\left(a_2\right)=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{a}_1=0\\ a_2=1\end{array}\right..$
Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số cộng $\left(a_n\right)$  là: $a_n=n-1.$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}{t}_1={\log }_2{b}_1\\ t_2={\log }_2{b}_2\end{array}\right.$ , suy ra: $f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)+2$  , vì $1\le b_1<b_2$   nên $0\le t_1<t_2$ , theo lập luận trên ta có: $\left\{\begin{array}{l}{t}_1=0\\ t_2=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\log }_2{b}_1=0\\ {\log }_2{b}_2=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{b}_1=1\\ b_2=2\end{array}\right..$
Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số nhân $\left(b_n\right)$  là $b_n=2^{n-1}$ .
Do đó $b_n>2019a_n\iff 2^{n-1}>2019\left(n-1\right)\left(*\right)$ .
Trong 4 đáp án n=16 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn (*).
 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Thể tích khối lập phương tăng thêm bao nhiêu lần nếu độ dài cạnh của nó tăng gấp đôi?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thể tích khối lập phương tăng thêm bao nhiêu lần nếu độ dài cạnh của nó tăng gấp đôi?

   A. 8.

   B. 7.

   Đáp án chính xác

   C. 1.

   D. 4.

   Trả lời:

   Đáp án B
   Giả sử cạnh ban đầu là a thì cạnh lúc sau là 2a.
   Có thể tích tăng thêm là: $\Delta V=V_2-V_1={\left(2a\right)}^3-a^3=7a^3=7V_1$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Hàm số y=2×3−x2+5  có điểm cực đại là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y=2x^3-x^2+5$  có điểm cực đại là

   A. $x=\frac{1}{3}.$

   B. x=0

   Đáp án chính xác

   C. M(0;5)

   D. y=5

   Trả lời:

   Đáp án B
   TXĐ: $D=ℝ$  .
   Ta có: $\left\{\begin{array}{l}y‘=6x^2-2x\\ y‘‘=12x-2\end{array}\right..$
   Ta lại có: $y‘=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{1}{3}\end{array}\right..$
   Nhận thấy: $y‘‘\left(0\right)=-2<0\Rightarrow x=0$  là điểm cực đại của hàm số.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, nếu u→  là véctơ chỉ phương của trục Oy thì
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, nếu $\overrightarrow{u}$  là véctơ chỉ phương của trục Oy thì

   A. $\overrightarrow{u}$  cùng hướng với $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$ .

   Đáp án chính xác

   B. $\overrightarrow{u}$  cùng phương với $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$ .

   C. $\overrightarrow{u}$  cùng hướng với  $\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)$.

   D. $\overrightarrow{u}$  cùng phương với $\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)$ .

   Trả lời:

   Đáp án B
   Trục Oy có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$  .
   Mà $\overrightarrow{u}$  cũng là véctơ chỉ phương của trục Oy nên $\overrightarrow{u}$   cùng phương với véctơ $\overrightarrow{j}$  .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên −∞;+∞ ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$ ?

   A.  $y=-x^4+3x^2-2x+1.$

   B. $y=\frac{x+1}{2x-2}.$

   C.  $y=-x^3+x^2-2x+1.$       

   Đáp án chính xác

   D. $y=x^3+3.$

   Trả lời:

   Đáp án C
   Loại A và B vì hàm bậc bốn và hàm bậc nhất trên bậc nhất không bao giờ đơn điệu trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$ .
   Xét hàm $y=-x^3+x^2-2x+1$  .
   TXĐ: D=R.
   Ta có: $y‘=-3x^2+2x-2=-3\left[{\left(x-\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{5}{9}\right]<\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$ .
   Suy ra hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$ .
   Xét hàm: $y=x^3+3$ .
   TXĐ: D=R.
   Ta có: $y‘=3x^2\ge 0$ ; suy ra hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho a, b là các số thực dương, a≠1  và n≠0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho a, b là các số thực dương, $a\ne 1$  và $n\ne 0$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

   A. ${\log }_{a^n}b={\log }_a{b}^n.$      

   Đáp án chính xác

   B. ${\log }_{a^n}b={\log }_{a}bn.$

   C. ${\log }_{a^n}b={\log }_a^n{b}^{}.$

   D. ${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b.$

   Trả lời:

   Đáp án D
   Ta có: ${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$ .
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====