Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức Px=2x+113=a0x13+a1x12+…+a13

Câu hỏi:

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức $P\left(x\right)={\left(2x+1\right)}^{13}=a_0{x}^{13}+a_1{x}^{12}+\mathrm{\dots }+a_{13}$

Trả lời:

Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức ${\left(2x+1\right)}^{13}$ là $a_k=C_{13}^k{.2}^{13-k}$
với $k=1;2;3;\mathrm{\dots };13$
Giả sử $a_k$ là hệ số lớn nhất trong các hệ số $a_0,a_1,\mathrm{\dots },a_{13}$.
Khi đó ta có $\left\{\begin{array}{l}{a}_k\ge a_{k+1}\\ a_k\ge a_{k-1}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{C}_{13}^k{.2}^{13-k}\ge C_{13}^{k+1}{.2}^{12-k}\\ C_{13}^{k-1}{.2}^{14-k}\le C_{13}^k{.2}^{13-k}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}k\ge \frac{11}{3}\\ k\le \frac{14}{3}\end{array}\right.\Rightarrow k=4$.
Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là
$a_4=C_{13}^4{.2}^9=366080$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho khai triển 2x+110  . a) Tìm hệ số của x5  trong khai triển trên.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khai triển ${\left(2x+1\right)}^{10}$  .
   a) Tìm hệ số của $x^5$  trong khai triển trên.

   Trả lời:

   Ta có ${\left(2x+1\right)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.{\left(2x\right)}^k=\sum _{k=0}^{10}{2}^k{C}_{10}^k.x^k$ .
   Số hạng chứa $x^5$  ứng với $k=5$ .
   Hệ số cần tìm là $C_{10}^5{.2}^5=8064$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. b) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển trên.
   
   

   Câu hỏi:
   

   b) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển trên.

   Trả lời:

   Số hạng không chứa x ứng với k=0.
   Hệ số cần tìm là $C_{10}^0{.2}^0=1$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn x−2×221 x≠0
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn ${\left(x-\frac{2}{x^2}\right)}^{21}$ $\left(x\ne 0\right)$

   Trả lời:

   Ta có số hạng tổng quát là
   $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k=C_{21}^k{x}^{21-k}.{\left(-\frac{2}{x^2}\right)}^k={\left(-2\right)}^k{C}_{21}^k{x}^{21-3k}$.
   Số hạng không chứa x ứng với $21-3k=0\iff k=7$ .
   Vậy hệ số cần tìm là $-2^7{C}_{21}^7$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm hệ số của số hạng chứa x6  trong khai triển x31−x8
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm hệ số của số hạng chứa $x^6$  trong khai triển $x^3{\left(1-x\right)}^8$

   Trả lời:

   Số hạng tổng quát của khai triển là $x^3.C_8^k{\left(-x\right)}^k=C_8^k{\left(-1\right)}^k{x}^{k+3}$.
   Số hạng chứa $x^6$ khi $k+3=6\iff k=3$ .
   Vậy hệ số cần tìm là $C_8^3{\left(-1\right)}^3=-56$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2×3−3×10,x>0 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${\left(2x3-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)}^{10},x>0$ .

   Trả lời:

   Ta có ${\left(2x3-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)}^{10}={\left(2.x^{\frac{1}{3}}-3.x^{-\frac{1}{2}}\right)}^{10}$.
   Số hạng tổng quát trong khai triển là
   $C_{10}^k{\left(2x^{\frac{1}{3}}\right)}^{10-k}.{\left(-3x^{-\frac{1}{2}}\right)}^k={\left(-1\right)}^k{.2}^{10-k}{.3}^k.x^{\frac{10-k}{3}}.x^{-\frac{k}{2}}={\left(-1\right)}^k{C}_{10}^k{.2}^{10-k}{.3}^k.x^{\frac{20-5k}{6}}.$
   Số hạng không chứa x ứng với $20-5k=0\iff k=4$
   Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là
   ${\left(-1\right)}^4{C}_{10}^4{.2}^6{.3}^4=\mathrm{210.64.81}=1088640$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====