Giải phương trình sinxcosx+2sinx+cosx=2

Câu hỏi:

Giải phương trình $\sin x\cos x+2\left(\sin x+\cos x\right)=2$

A. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

B. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Đáp án chính xác

C. $\left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

D. $\left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Trả lời:

Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$Vì $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\in \left[-1;1\right]\Rightarrow t\in \left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$Ta có $t^2={\left(\sin x+\cos x\right)}^2={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$.Khi đó, phương trình đã cho trở thành:$\frac{t^2-1}{2}+2t=2\iff t^2+4t-5=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-5\left(l\right)\end{array}\right..$Với t = 1, ta được $\sin x+\cos x=1\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}$.$\iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$Chọn đáp án B.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sinxcosx−sinx−cosx+m=0 có nghiệm?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sin x\cos x-\sin x-\cos x+m=0$ có nghiệm?

   A. 1

   B. 2

   C. 3

   Đáp án chính xác

   D. 4

   Trả lời:

   Đặt $t=\sin x+\cos x\left(-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\right)\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}.$Phương trình trở thành $\frac{t^2-1}{2}-t+m=0\iff -2m=t^2-2t-1\iff {\left(t-1\right)}^2=-2m+2$.Do $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\Rightarrow -\sqrt{2}-1\le t-1\le \sqrt{2}-1\iff 0\le {\left(t-1\right)}^2\le 3+2\sqrt{2}$.Vậy để phương trình có nghiệm $\iff 0\le -2m+2\le 3+2\sqrt{2}\iff -\frac{1+2\sqrt{2}}{2}\le m\le 1\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m\in \left\{-1;0;1\right\}.$                            Chọn đáp án C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho  x thỏa mãn 2sin2x−36sinx+cosx+8=0. Tính sin2x
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho  x thỏa mãn $2\sin 2x-3\sqrt{6}\left|\sin x+\cos x\right|+8=0$. Tính sin2x

   A. $\sin 2x=-\frac{1}{2}.$

   B. $\sin 2x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

   C. $\sin 2x=\frac{1}{2}.$

   Đáp án chính xác

   D. $\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

   Trả lời:

   Đặt $t=\left|\sin x+\cos x\right|=\sqrt{2}\left|\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right|$. Vì $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\in \left[-1;1\right]\Rightarrow t\in \left[0;\sqrt{2}\right]$. Ta có $t^2={\left(\sin x+\cos x\right)}^2={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x\Rightarrow \sin 2x=t^2-1.$Phương trình đã cho trở thành $2\left(t^2-1\right)-3\sqrt{6}t+8=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{\sqrt{6}}{2}\\ t=\sqrt{6}\left(loaï\right)\end{array}\right.$$\sin 2x=t^2-1=\frac{1}{2}.$ Chọn đáp án C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y=4sin2x+2sin2x+π4.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y=4{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right).$

   A. $M=\sqrt{2}.$

   B. $M=\sqrt{2}-1.$

   C. $M=\sqrt{2}+1.$

   D. $M=\sqrt{2}+2.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Ta có $y=4{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=4\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)+\sin 2x+\cos 2x$$=\sin 2x-\cos 2x+2=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+2.$Mà $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\le 1\Rightarrow -\sqrt{2}+2\le \sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+2\le \sqrt{2}+2$Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $2+\sqrt{2}.$ Chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm tập xác định D của hàm số y=1sinx−cosx.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tập xác định D của hàm số $y=\frac{1}{\sin x-\cos x}.$

   A. D = R

   B. $\text{D}=ℝ\backslash \left\{-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}.$

   C. $\text{D}=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}.$

   D. $\text{D}=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hàm số xác định $\iff \sin x-\cos x\ne 0\iff \tan x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$Vậy tập xác định $\text{D}=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}.$ Chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

   A.  y = – sin x

   B. y = cosx – sinx 

   C. y = cosx + ${\sin }^{2}x$

   Đáp án chính xác

   D. y = cosx. sin x

   Trả lời:

   Tất các các hàm số đều có TXĐ:  D =R  Do đó $\forall x\in \text{D}\Rightarrow -x\in \text{D.}$ Bây giờ ta kiểm tra f(x) = f(-x) hoặc f(-x) = – f(x).= Với y = f(x) = – sinx. Ta có f(-x)= – sin (-x) = sinx = – (- sinx) $\Rightarrow f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$. Suy ra hàm số y = -sinx là hàm số lẻ.= Với y = f(x) = cosx –sinx. Ta có $f\left(-x\right)=\cos \left(-x\right)-\sin \left(-x\right)=\cos x+\sin x$$\Rightarrow f\left(-x\right)\ne \left\{-f\left(x\right),f\left(x\right)\right\}$. Suy ra hàm số y = cosx – sinx không chẵn không lẻ.= Với $y=f\left(x\right)=\cos x+{\sin }^{2}x$. Ta có $f\left(-x\right)=\cos \left(-x\right)+{\sin }^2\left(-x\right)$$=\cos \left(-x\right)+{\left[\sin \left(-x\right)\right]}^2=\cos x+{\left[-\sin x\right]}^2=\cos x+{\sin }^{2}x$$\Rightarrow f\left(-x\right)=f\left(x\right)$. Suy ra hàm số $y=\cos x+{\sin }^{2}x$ là hàm số chẵn.= Với $y=f\left(x\right)=\cos x\sin x.$ Ta có $f\left(-x\right)=\cos \left(-x\right).\sin \left(-x\right)=-\cos x\sin x$$\Rightarrow f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$. Suy ra hàm số $y=\cos x\sin x$ là hàm số lẻ.Chọn đáp án C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====