Cho Sn=1+2.3+3.32+…+n.3n−1. Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?

Câu hỏi:

Cho $S_n=1+2.3+{3.3}^2+\mathrm{\dots }+n{.3}^{n-1}$. Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?

A. $S_n=-\frac{3^n-1}{4}+\frac{1}{2}{3}^n.$

B. $S_n=-\frac{3^n-1}{4}+\frac{n}{2}{3}^n.$

Đáp án chính xác

C. $S_n=\frac{3^n-1}{4}+\frac{n}{2}{3}^n.$

D. $S_n=-\frac{3^n+1}{4}+\frac{n}{2}{3}^n.$

Trả lời:

Chọn B
Ta có $3S_n=3+{2.3}^2+{3.3}^3+\mathrm{\dots }+n{.3}^n$
Từ đó $2S_n=-1-3-3^2-\mathrm{\dots }-3^{n-1}+n{.3}^n\iff 2S_n=-\frac{3^n-1}{2}+n{.3}^n\iff S_n=-\frac{3^n-1}{4}+\frac{n}{2}{.3}^n$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tính tổng S = 1+3+5+…+2021
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính tổng S = 1+3+5+…+2021

   Trả lời:

   Ta có $2S=\left(1+2021\right)+\left(3+2019\right)+\left(5+2017\right)+\mathrm{\dots }+\left(2021+1\right)=2022.2021$Vậy $S=\frac{2022.2021}{2}=2043231.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tính tổng S=21.3+23.5+25.7+…+297.99
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính tổng $S=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+\mathrm{\dots }+\frac{2}{97.99}$

   Trả lời:

   Ta có $\frac{2}{1.3}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3};\frac{2}{3.5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5};\mathrm{\dots }$
   Do đó $S=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{97}-\frac{1}{99}=1-\frac{1}{99}=\frac{98}{99}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tổngSn=11.2.3+12.3.4+13.4.5+…+1nn+1n+2.Tính S100
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tổng$S_n=\frac{1}{\mathrm{1.2.3}}+\frac{1}{\mathrm{2.3.4}}+\frac{1}{\mathrm{3.4.5}}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}.$Tính ${\mathrm{S}}_{100}$

   Trả lời:

   Ta có $\frac{2.1}{\mathrm{1.2.3}}=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3};\frac{2.1}{\mathrm{2.3.4}}=\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4};\mathrm{\dots }$
   Suy ra $2S_n=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{n\left(n+3\right)}{2\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

   Vậy $S_n=\frac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\Rightarrow S_{100}=\frac{2575}{10302}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho Sn=1.2+3.4+5.6+…+2n−1.2n . Tính S100  biết rằng ∑i=1n2i=2+4+6+…2n=nn+1; ∑i=1ni2=1+22+32+…+n2=nn+12n+16
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $S_n=1.2+3.4+5.6+\mathrm{\dots }+\left(2n-1\right).2n$ . Tính ${\mathrm{S}}_{100}$  biết rằng $\sum _{i=1}^{n}2i=2+4+6+\mathrm{\dots 2}n=n\left(n+1\right);\sum _{i=1}^n{i}^2=1+2^2+3^2+\mathrm{\dots }+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

   Trả lời:

   Ta có
   $S_n=\sum _{i=1}^{n}2i\left(2i-1\right)=\sum _{i=1}^n\left(4i^2-2i\right)=4\sum _{i=1}^n{i}^2-\sum _{i=1}^{n}2i\begin{array}{l}\mathit{=}\frac{\mathit{4}\mathit{n}(n\mathrm{+}\mathrm{1})(\mathrm{2}n\mathrm{+}\mathrm{1})}{\mathit{6}}\mathit{-}\mathit{n}(n\mathrm{+}\mathrm{1})\mathit{=}\frac{\mathit{n}(n\mathrm{+}\mathrm{1})(\mathrm{4}n\mathrm{-}\mathrm{1})}{\mathit{3}}\\ \mathit{\Rightarrow }{\mathit{S}}_{\mathit{100}}\mathit{=}\frac{\mathit{100.}(\mathrm{100}\mathrm{+}\mathrm{1})(\mathrm{4.100}\mathrm{-}\mathrm{1})}{\mathit{3}}\mathit{=}\mathit{1343300}\end{array}$
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tổng Sn=1.4+2.7+3.10+…+n3n+1 với n∈ℕ* . Biết Sk=294 và ∑i=1ni=1+2+3+…+n=nn+12;  ∑i=1ni2=1+22+32+…+n2=nn+12n+16 Tính giá trị của k.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tổng $S_n=1.4+2.7+3.10+\mathrm{\dots }+n\left(3n+1\right)$ với $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ . Biết ${\mathrm{S}}_{\mathrm{k}}=294$ và $\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\mathrm{\dots }+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2};\sum _{i=1}^n{i}^2=1+2^2+3^2+\mathrm{\dots }+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

   Tính giá trị của k.

   Trả lời:

   Ta có
   $S_n=\sum _{i=1}^{n}i\left(3i+1\right)=\sum _{i=1}^n\left(3i^2+1\right)=3\sum _{i=1}^n{i}^2+\sum _{i=1}^{n}i\mathit{ }$
   $\begin{array}{l}=\frac{3n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}+\frac{n\left(n+1\right)}{2}=n{\left(n+1\right)}^2\\ \Rightarrow S_k=k{\left(k+1\right)}^2=294\iff k^3+2k^2+k=294\\ \iff \left(k-6\right)\left(k^2+8k+49\right)=0\iff k=6.\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====