Cho dãy số un  được xác định un=m,m≥12nun+1=2nun−1,n∈ℕ*. Tham số m để dãy số un  có giới hạn bằng 0 là

Câu hỏi:

Cho dãy số $\left(u_n\right)$  được xác định $\left\{\begin{array}{l}{u}_n=m,\left(m\ge 1\right)\\ 2^n{u}_{n+1}=\left|2^n{u}_n-1\right|,n\in {\mathbb{N}}^{*}\end{array}\right..$
Tham số m để dãy số $\left(u_n\right)$  có giới hạn bằng 0 là

A. m=1

B. m=2

C. m=3

Đáp án chính xác

D. m=4

Trả lời:

Chọn đáp án C

Ta có $2^n{u}_{n+1}=\left|2^n.u_n-1\right|\iff u_{n+1}=\left|u_n-\frac{1}{2^n}\right|.$ 
Chứng minh: $u_n\ge 2^{1-n}$ (bằng quy nạp).
* Với n=1  ta có $u_1=m\ge 1=2^0.$ 
* Giả sử $u_k>2^{1-k}$ (với k>1)
* Cần chứng minh: $u_{k+1}>2^{-k}.$ 
Ta có $u_{k+1}=\left|u_k-2^{-k}\right|>\left|2^{1-k}-2^{-k}\right|=2^{-k}$ . Suy ra điều phải chứng minh.
Từ đó suy ra $u_n-2^{-n}>0$ với mọi $n\Rightarrow u_{n+1}=u_n-\frac{1}{2^n}.$ 
Ta có $u_2=u_1-\frac{1}{2};u_3=u_2-\frac{1}{2^2};u_4=u_3-\frac{1}{2^3};\mathrm{\dots };u_n=u_{n-1}-\frac{1}{2^{n-1}}$
$\Rightarrow u_n=u_1-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{2^{n-1}}\right).$ 
Công thức tổng quát $u_n=m-\frac{1}{2}.\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}{\frac{1}{2}}=m-1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ 
$\Rightarrow \lim u_n=0\iff \lim \left(m-1\right)+\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=0$ 
 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Chứng minh các dãy số un  sau đây có giới hạn là 0. a, un=−1n3n+2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh các dãy số $\left(u_n\right)$  sau đây có giới hạn là 0.
   a, $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{3n+2}.$

   Trả lời:

   a) Với mỗi số dương  tùy ý cho trước, ta có
    $\left|u_n\right|=\left|\frac{{\left(-1\right)}^n}{3n+2}\right|=\frac{1}{3n+2}<\frac{1}{3n}<\epsilon$
    $\iff n>\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\epsilon }-2\right).$
   Đặt $n_0=1+\left[\frac{1}{3\epsilon }\right]$  thì $n_0\in {\mathbb{N}}^{*}$và  $\left|u_n\right|<\epsilon ,\forall n\ge n_0.$
   Vậy  $\lim u_n=0.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Chứng minh các dãy số un  sau đây có giới hạn là 0. b, un=sin4nn+3.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh các dãy số $\left(u_n\right)$  sau đây có giới hạn là 0.
   b, $u_n=\frac{\sin 4n}{n+3}.$

   Trả lời:

   b) Ta có $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$thì
    $\left|\sin 4n\right|\le 1\Rightarrow \left|u_n\right|=\left|\frac{\sin 4n}{n+3}\right|\le \left|\frac{1}{n+3}\right|\le \left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}.$
   Áp dụng cho định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước  thì $\lim \frac{1}{n^k}=0$” ta được  $\lim \frac{1}{n}=0.$
   Từ đó suy ra $\lim u_n=0.$   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Chứng minh các dãy số un sau đây có giới hạn là 0. un=1+sinn44n+5.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh các dãy số $\left(u_n\right)$ sau đây có giới hạn là 0.
   $u_n=\frac{1+\sin n^4}{4n+5}.$

   Trả lời:

   Ta có $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$  thì $\left|\sin n^4\right|\le 1\Rightarrow \left|u_n\right|=\left|\frac{1+\sin n^4}{4n+5}\right|\le \left|\frac{2}{4n+5}\right|\le \left|\frac{2}{4n}\right|=\frac{1}{2n}$  .
   Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì $\lim \frac{1}{n^k}=0$ ” ta được $\lim \frac{1}{n}=0.$Từ đó suy ra  $\lim u_n=0.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Chứng minh các dãy số un sau đây có giới hạn là 0. un=−1n2n+1−15n−1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh các dãy số $\left(u_n\right)$sau đây có giới hạn là 0.
   $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{2^{n+1}}-\frac{1}{5^{n-1}}.$

   Trả lời:

   Ta có  $\left|u_n\right|=\left|\frac{{\left(-1\right)}^n}{2^{n+1}}-\frac{1}{5^{n+1}}\right|\le \frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{5^{n+1}}<\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^n},\forall n\in \mathbb{N}.$
   Vì  $\lim \frac{1}{2^n}=\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0.$
   Từ đó suy ra $\lim u_n=0.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Chứng minh rằng: lim1n+1=0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng: $\lim \frac{1}{n+1}=0.$

   Trả lời:

   Ta có $0<\left|\frac{1}{n+1}\right|<\frac{1}{n}$ và  $\lim \frac{1}{n}=0.$
   Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====