Trên mặt phẳng, chất điểm A chịu tác dụng của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) và ở trạng thái cân bằng. Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) bằng 60°. Tính độ lớn của \(\overrightarrow {{F_3}} \), biết \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\sqrt 3 N.\)

Câu hỏi:

 
Trên mặt phẳng, chất điểm A chịu tác dụng của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) và ở trạng thái cân bằng. Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) bằng 60°. Tính độ lớn của \(\overrightarrow {{F_3}} \), biết \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\sqrt 3 N.\)

Trả lời:

Lời giải
Ta sử dụng các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AE} \) lần lượt biểu diễn cho các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) và hợp lực \(\overrightarrow F \) của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) (hình vẽ dưới đây).

Khi đó do \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \) nên tứ giác ABEC là hình bình hành
Lại có góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) bằng 60° nên \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)
Suy ra \(\widehat {ECA} = 180^\circ – \widehat {BAC} = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ \)
Áp dụng định lí Cosin cho tam giác AEC ta có:
AE² = AC² + EC² – 2.AC.EC.cos\(\widehat {ECA}\)
Hay \(A{E^2} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} – 2.2\sqrt 3 .2\sqrt 3 .c{\rm{os120}}^\circ \)
AE² = 36
AE = 6
Do đó \(\left| {\overrightarrow F } \right| = 6\,\left( N \right)\)
Vì chất điểm A ở trạng thái cân bằng nên hai lực \(\overrightarrow F \) và \(\overrightarrow {{F_3}} \) ngược hướng và có cường độ bằng nhau
Tức là hai vectơ \(\overrightarrow {AE} \) và \(\overrightarrow {AD} \) là hai vectơ đối nhau
Do đó độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right| = 6\,\left( N \right)\)
Vậy độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng 6 N.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Chứng minh rằng: |a→|-|b→|<|a→+b→|<|a→|+|b→|
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Chứng minh rằng:
   $\left|\overrightarrow{a}\right|–\left|\overrightarrow{b}\right|<|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|<\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|$

   Trả lời:

   Lời giải
   Giả sử ba điểm A, B, C thoả mãn: \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {BC} \)
   
   Khi đó ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm)
   Do đó:
   +) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB;\)
   +) \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC;\)
   +) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\)
   Mặt khác: xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:
   AB – BC < AC < AB + BC
   Hay \(\left| {\overrightarrow a } \right| – \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\) \(\)
   Vậy \(\left| {\overrightarrow a } \right| – \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|.\)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt cạnh AD tại N. Chứng minh rằng O là trung điểm MN.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt cạnh AD tại N.
   Chứng minh rằng O là trung điểm MN.

   Trả lời:

   Lời giải
   
   Vì
   ABCD là hình bình hành tâm O
   Nên O là trung điểm của AC và BD và \(\widehat {ADO} = \widehat {CBO}\)
   Xét ∆ODN và ∆OBM có:
   OD = OB (do O là trung điểm của BD),
   \(\widehat {DON} = \widehat {BOM}\) (hai góc đối đỉnh),
   \(\widehat {NDO} = \widehat {MBO}\)(do \(\widehat {ADO} = \widehat {CBO}\))
   ∆ODN = ∆OBM (g.c.g)
   ON = OM (hai cạnh tương ứng)
   O là trung điểm của NM.
   Vậy O là trung điểm của NM.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt cạnh AD tại N. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tam giác MNC.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt cạnh AD tại N.
   Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tam giác MNC.

   Trả lời:

   Lời giải
   
   Vì
   G là trọng tâm ∆BCD nên \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)
   \( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {MB} } \right) + \overrightarrow {GC} + \left( {\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {ND} } \right) = \overrightarrow 0 \) (quy tắc hiệu)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} + \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {ND} } \right) = \overrightarrow 0 \) (*)
   Ta có: O là trung điểm của NM (câu a), O là trung điểm của BD (câu a)
   BMDN là hình bình hành
   \( \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {ND} \) \( \Rightarrow – \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {ND} \)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \)
   Thay vào (*) ta được \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)
   Do đó \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} = \overrightarrow 0 \)
   G là trọng tâm tam giác MNC.
   Vậy G là trọng tâm tam giác MNC.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tứ giác ABCD. a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \) b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .\)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ giác ABCD.
   a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)
   b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .\)

   Trả lời:

   Lời giải
   a) Theo quy tắc ba điểm ta có:
   \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \)
   \( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \)
   \( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} \)
   \( = \overrightarrow {{\rm{AA}}} \)
   \( = \overrightarrow 0 \)
   Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .\)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ giác ABCD.
   Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .\)

   Trả lời:

   Lời giải
   Theo quy tắc ba điểm ta có:
   \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \)
   \( = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} } \right)\)
   \( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)
   \( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DB} } \right)\)
   \( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BB} \)
   \( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow 0 \)
   \( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \)
   Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .\)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====