Tìm phương trình của parabol (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), biết: a) Parabol (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x = –2; x = 1 và đi qua điểm M(–1; 3); b) Parabol (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ y = –2 và hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng –4 tại x = 2.

Câu hỏi:

Tìm phương trình của parabol (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), biết:
a) Parabol (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x = –2; x = 1 và đi qua điểm M(–1; 3);
b) Parabol (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ y = –2 và hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng –4 tại x = 2.

Trả lời:

Hướng dẫn giải
a) (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x = –2; x = 1$\Rightarrow \{\begin{array}{l}0=a{(-2)}^2+b(-2)+c\\ 0=a{.1}^2+b.1+c\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}4a-2b+c=0\left(1\right)\\ a+b+c=0\left(2\right)\end{array}.$
(P) đi qua điểm M(–1; 3) =>  3 = a(–1)2 + b(–1) + c => a – b + c = 3 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}4a-2b+c=0\\ a+b+c=0\\ a-b+c=3\end{array}.$
Giải hệ này ta được a = $-\frac{3}{2}$, b = $-\frac{3}{2}$, c = 3.
Vậy phương trình của (P) là y = $-\frac{3}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x+3.$
b) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ y = –2 => –2 = a . 02 + b . 0 + c hay c = –2 (1).
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng –4 tại x = 2
$\Rightarrow \{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=2\\ -4=a{.2}^2+b.2+c\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}4a+b=0\left(2\right)\\ 4a+2b+c=-4\left(3\right)\end{array}.$
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}c=-2\\ 4a+b=0\\ 4a+2b+c=-4\end{array}.$
Giải hệ này ta được a = $\frac{1}{2}$, b = –2, c = –2.
Vậy phương trình của (P) là y = $\frac{1}{2}$x2 – 2x – 2.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Giải các hệ phương trình sau: a) x+y+z=6x+2y+3z=143x−2y−z=−4; b) 2x−2y+z=63x+2y+5z=77x+3y−6z=1; c) 2x+y−6z=13x+2y−5z=57x+4y−17z=7; d) 5x+2y−7z=62x+3y+2z=79x+8y−3z=1.    
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải các hệ phương trình sau:
   a) $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ x+2y+3z=14\\ 3x-2y-z=-4\end{array}\right.$;

   b) $\left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ 3x+2y+5z=7\\ 7x+3y-6z=1\end{array}\right.$;
   c) $\left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ 3x+2y-5z=5\\ 7x+4y-17z=7\end{array}\right.$;

   d) $\left\{\begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ 2x+3y+2z=7\\ 9x+8y-3z=1\end{array}\right.$.

    
    

   Trả lời:

   a) $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ x+2y+3z=14\\ 3x-2y-z=-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ -y-2z=-8\\ 5y+4z=22\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ -y-2z=-8\\ -6z=-18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ -y-2.3=-8\\ z=3\end{array}\right.$
   $\iff \left\{\begin{array}{l}x+2+3=6\\ y=2\\ z=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=3\end{array}\right..$
    
   Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y; z) = (1; 2; 3).
   b) $\left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ 3x+2y+5z=7\\ 7x+3y-6z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -10y-7z=4\\ 7x+3y-6z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -10y-7z=4\\ -20y+19z=40\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -8y-7z=4\\ -33z=-32\end{array}\right.$
   $\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -8y-7.\frac{32}{33}=4\\ z=\frac{32}{33}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2\left(-\frac{178}{165}\right)+\frac{32}{33}=6\\ y=-\frac{178}{165}\\ z=\frac{32}{33}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{79}{55}\\ y=-\frac{178}{165}\\ z=\frac{32}{33}\end{array}\right..$

   Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y; z) = $\left(\frac{79}{55};-\frac{178}{165};\frac{32}{33}\right).$
   c) $\left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ 3x+2y-5z=5\\ 7x+4y-17z=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ -y-8z=-7\\ 7x+4y-17z=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ -y-8z=-7\\ -y-8z=-7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ -y-8z=-7\end{array}\right..$
   Rút y theo z từ phương trình thứ hai ta được y = 7 – 8z. Rút x theo y và z từ phương trình thứ nhất ta được x = $\frac{1-y+6z}{2}=\frac{1-\left(7-8z\right)+6z}{2}=7z-3.$ Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = {(7z – 3; 7 – 8z; z) | z $\in ℝ\text{}}.$
   d) $\left\{\begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ 2x+3y+2z=7\\ 9x+8y-3z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ -11y-24z=-23\\ -22y-48z=49\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ -22y-48z=-46\\ -22y-48z=49\end{array}\right..$
   Từ hai phương trình cuối, suy ra –46 = 49, điều này vô lí.
   Vậy hệ ban đầu vô nghiệm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm các số thực A, B và C thoả mãn 1×3+1=Ax+1+Bx+Cx2−x+1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm các số thực A, B và C thoả mãn $\frac{1}{x^3+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}.$

   Trả lời:

   $\frac{1}{x^3+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}\iff \frac{1}{x^3+1}=\frac{A\left(x^2-x+1\right)+\left(Bx+C\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}$
   $\iff \frac{1}{x^3+1}=\frac{\left(A{x}^2-Ax+A\right)+\left(B{x}^2+Bx+Cx+C\right)}{x^3+1}$
   $\iff \frac{1}{x^3+1}=\frac{\left(A+B\right)x^2+\left(-A+B+C\right)x+\left(A+C\right)}{x^3+1}$
   $\iff \left\{\begin{array}{l}A+B=0\\ -A+B+C=0\\ A+C=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}A=\frac{1}{3}\\ B=-\frac{1}{3}\\ C=\frac{2}{3}\end{array}\right..$

   Vậy $A=\frac{1}{3},B=-\frac{1}{3},C=\frac{2}{3}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm parabol y = ax2 + bx + c trong mỗi trường hợp sau: a) Parabol đi qua ba điểm A(2; –1), B(4; 3) và C(–1; 8); b) Parabol nhận đường thẳng x = 52 làm trục đối xứng và đi qua hai điểm M(1; 0), N(5; –4).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm parabol y = ax2 + bx + c trong mỗi trường hợp sau:
   a) Parabol đi qua ba điểm A(2; –1), B(4; 3) và C(–1; 8);
   b) Parabol nhận đường thẳng x = $\frac{5}{2}$ làm trục đối xứng và đi qua hai điểm M(1; 0), N(5; –4).

   Trả lời:

   a) Parabol đi qua ba điểm A(2; –1), B(4; 3) và C(–1; 8) nên ta có hệ phương trình:
   $\left\{\begin{array}{l}-1=a{.2}^2+b.2+c\\ 3=a{.4}^2+b.4+c\\ 8=a.{\left(-1\right)}^2+b.\left(-1\right)+c\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4a+2b+c=-1\\ 16a+4b+c=3\\ a-b+c=-1\end{array}\right..$
   Giải hệ này ta được a = $\frac{2}{5},$ b = $-\frac{2}{5},$ c = $-\frac{9}{5}.$
   Vậy phương trình của parabol là $y=\frac{2}{5}{x}^2-\frac{2}{5}x-\frac{9}{5}.$
   b) Parabol nhận đường thẳng x = $\frac{5}{2}$ làm trục đối xứng, suy ra $-\frac{b}{2a}=\frac{5}{2}\Rightarrow$ 5a + b = 0.
   Parabol đi qua hai điểm M(1; 0), N(5; –4), suy ra
   $0=a{.1}^2+b.1+c$ và $-4=a{.5}^2+b.5+c$
   hay a + b + c = 0 và 25a + 5b + c = –4.
   Vậy ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}5a+b=0\\ a+b+c=0\\ 25a+5b+c=-4\end{array}\right..$
   Giải hệ này ta được a = –1, b = 5, c = –4.
   Vậy phương trình của parabol là y = –x2 + 5x – 4.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong mặt phẳng toạ độ, viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(0; 1), B(2; 3) và C(4; 1).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng toạ độ, viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(0; 1), B(2; 3) và C(4; 1).

   Trả lời:

   Giả sử đường tròn cần viết có phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 – c > 0).
   Vì đường tròn đi qua ba điểm A(0; 1), B(2; 3) và C(4; 1) nên ta có hệ:
   $\left\{\begin{array}{l}{0}^2+1^2-2a.0-2b.1+c=0\\ 2^2+3^2-2a.2-2b.3+c=0\\ 4^2+1^2-2a.4-2b.1+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2b-c=1\\ 4a+6b-c=13\\ 8a+2b-c=17\end{array}\right..$
   Giải hệ này ta được a = 2, b = 1, c = 1 (thoả mãn điều kiện).
   Vậy đường tròn cần viết có phương trình x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Một đoàn xe chở 255 tấn gạo tiếp tế cho đồng bào vùng bị lũ lụt. Đoàn xe có 36 chiếc gồm ba loại: xe chở 5 tấn, xe chở 7 tấn và xe chở 10 tấn. Biết rằng tổng số hai loại xe chở 5 tấn và chở 7 tấn nhiều gấp ba lần số xe chở 10 tấn. Hỏi mỗi loại xe có bao nhiêu chiếc?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Một đoàn xe chở 255 tấn gạo tiếp tế cho đồng bào vùng bị lũ lụt. Đoàn xe có 36 chiếc gồm ba loại: xe chở 5 tấn, xe chở 7 tấn và xe chở 10 tấn. Biết rằng tổng số hai loại xe chở 5 tấn và chở 7 tấn nhiều gấp ba lần số xe chở 10 tấn. Hỏi mỗi loại xe có bao nhiêu chiếc?

   Trả lời:

   Gọi số xe loại chở 5 tấn, chở 7 tấn và chở 10 tấn lần lượt là x, y, z.
   Theo đề bài, ta có:
   – Có tổng cộng 255 tấn gạo, suy ra 5x + 7y + 10z = 255 (1).
   – Đoàn xe có 36 chiếc, suy ra x + y + z = 36 (2).
   – Tổng số hai loại xe chở 5 tấn và chở 7 tấn nhiều gấp ba lần số xe chở 10 tấn, suy ra (x + y) = 3z hay x + y – 3z = 0 (2).
   Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}5x+7y+10z=255\\ x+y+z=36\\ x+y-3z=0\end{array}\right..$
   Giải hệ này ta được x = 12, y = 15, z = 9.
   Vậy số xe loại chở 5 tấn, chở 7 tấn và chở 10 tấn lần lượt là 12 xe, 15 xe và 9 xe.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====