Ông giám đốc vườn thú mua 10 con vật để nhốt vào 10 cái chuồng mới xây. Thế nhưng có 3 cái chuồng lại không vừa so với 5 con vật lớn nhất. Hỏi vị giám đốc có bao nhiêu cách nhốt 10 con vật, mỗi con trong một chuồng?

Câu hỏi:

Ông giám đốc vườn thú mua 10 con vật để nhốt vào 10 cái chuồng mới xây. Thế nhưng có 3 cái chuồng lại không vừa so với 5 con vật lớn nhất. Hỏi vị giám đốc có bao nhiêu cách nhốt 10 con vật, mỗi con trong một chuồng?

Trả lời:

Hướng dẫn giải
5 con vật lớn nhất phải được nhốt vào các chuồng phù hợp với kích cỡ của chúng. Số chuồng như vậy là 10 – 3 = 7.
Để nhốt các con vật thì vị giám đốc có thể tiến hành qua 2 công đoạn như sau:
– Công đoạn 1: nhốt 5 con vật lớn nhất vào 5 trong 7 cái chuồng phù hợp với chúng;
– Công đoạn 2: nhốt 5 con vật còn lại vào 5 cái chuồng còn lại.
Số cách thực hiện công đoạn 1 bằng số cách lấy ra 5 phần tử có thứ tự từ một tập hợp có 7 phần tử, nghĩa là bằng
\(A_7^5 = \frac{{7!}}{{(7 – 5)!}} = \frac{{7.6.5.4.3.2!}}{{2!}} = = 7.6.5.4.3 = 2520\) (cách).
Số cách thực hiện công đoạn 2 bằng số các hoán vị của 5 phần tử, nghĩa là bằng:
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 (cách)
Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách nhốt là: 2 520 . 120 = 302 400 (cách).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Có 5 nhà xe vận chuyển hành khách giữa Hà Nội và Hải Phòng. Số cách để một người đi từ Hà Nội tới Hải Phòng rồi sau đó quay lại Hà Nội bằng hai nhà xe khác nhau là A. 5. B. 10. C. 15. D. 20.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Có 5 nhà xe vận chuyển hành khách giữa Hà Nội và Hải Phòng. Số cách để một người đi từ Hà Nội tới Hải Phòng rồi sau đó quay lại Hà Nội bằng hai nhà xe khác nhau là
   A. 5.
   B. 10.
   C. 15.
   D. 20.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: D
   Từ Hà Nội tới Hải Phòng, một hành khách có 5 cách chọn nhà xe.
   Để quay lại Hà Nội bằng một nhà xe khác thì hành khách có 5 – 1= 4 cách chọn.
   Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách đi là 5 . 4 = 20 (cách).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Số các số tự nhiên chẵn có ba chữ số, các chữ số đôi một khác nhau, được tạo thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 là A. 224. B. 280. C. 324. D. Không số nào trong các số đó.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số các số tự nhiên chẵn có ba chữ số, các chữ số đôi một khác nhau, được tạo thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 là
   A. 224.
   B. 280.
   C. 324.
   D. Không số nào trong các số đó.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: A
   Một số có ba chữ số như vậy có dạng \(\overline {abc} \), với a, b, c khác nhau, được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 và c chỉ nhận một trong các giá trị 2; 4; 6; 8. Ta có thể xây dựng một số như vậy bằng cách trước hết chọn c, sau đó chọn ra hai chữ số có sắp thứ tự a, b từ các chữ số còn lại.
   Có 4 cách chọn c là một trong các chữ số 2; 4; 6; 8.
   Có 8 cách chọn a (bớt đi 1 số đã chọn bởi c).
   Có 7 cách chọn b (bớt đi 1 số đã chọn bởi c, 1 số đã chọn bởi a).
   Vì thế, theo quy tắc nhân, số các số có tính chất của bài toán là:
   4 . 8 . 7 = 224 (số).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Số các số tự nhiên trong khoảng từ 3 000 đến 4 000, chia hết cho 5, các chữ số đôi một khác nhau, được tạo thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 là A. \(C_4^2\). B. \(A_4^2\). C. \(A_5^2\). D. \(C_6^4\).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số các số tự nhiên trong khoảng từ 3 000 đến 4 000, chia hết cho 5, các chữ số đôi một khác nhau, được tạo thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 là
   A. \(C_4^2\).
   B. \(A_4^2\).
   C. \(A_5^2\).
   D. \(C_6^4\).

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: B
   Một số tự nhiên nằm trong khoảng từ 3 000 đến 4 000 và chia hết cho 5 và có các chữ số được tạo thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 phải có chữ số hàng đơn vị là 5 và chữ số hàng nghìn là 3. Như vậy các số thoả mãn yêu cầu của bài toán có dạng \(\overline {3ab5} \), trong đó a, b là 2 chữ số khác nhau chọn trong các chữ số 1; 2; 4; 6 (có sắp xếp). Do đó, số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là số các chỉnh hợp chập 2 của 4 và là: \(A_4^2\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho số nguyên dương n ≥ 4. Người ta đánh dấu n điểm phân biệt trên một đường tròn. Biết rằng số các hình tam giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu thì bằng số các tứ giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu. Giá trị của n là A. 4. B. 6. C. 7. D. 9.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho số nguyên dương n ≥ 4. Người ta đánh dấu n điểm phân biệt trên một đường tròn. Biết rằng số các hình tam giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu thì bằng số các tứ giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu. Giá trị của n là
   A. 4.
   B. 6.
   C. 7.
   D. 9.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: C
   Mỗi tam giác cần đếm có 3 đỉnh là các điểm được đánh dấu.
   Đảo lại, mỗi bộ ba điểm được đánh dấu xác định một tam giác.
   Như vậy, do khi đảo cách thứ tự 3 đỉnh đã chọn cho nhau thì tam giác tạo thành không thay đổi nên số các tam giác với các điểm được đánh dấu là số các tổ hợp chập 3 của n và là: \(C_n^3\).
   Mỗi tứ giác cần đếm có 4 đỉnh là các điểm được đánh dấu.
   Đảo lại, mỗi bộ bốn điểm được đánh dấu xác định một tứ giác.
   Như vậy, do khi đảo cách thứ tự 4 đỉnh đã chọn cho nhau thì tứ giác tạo thành không thay đổi nên số các tứ giác với các điểm được đánh dấu là số các tổ hợp chập 4 của n và là: \(C_n^4\).
   Biết rằng số các hình tam giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu thì bằng số các tứ giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu. Suy ra \(C_n^3 = C_n^4\), nghĩa là
   \(\frac{{n!}}{{3!(n – 3)!}} = \frac{{n!}}{{4!(n – 4)!}}\)
   \( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)(n – 3)!}}{{3.2.1.(n – 3)!}} = \frac{{n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)\left( {n – 3} \right)(n – 4)!}}{{4.3.2.1.(n – 4)!}}\)
   \( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)}}{{3.2.1}} = \frac{{n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)\left( {n – 3} \right)}}{{4.3.2.1}}\)
   \( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)}}{{3.2.1}} – \frac{{n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)\left( {n – 3} \right)}}{{4.3.2.1}} = 0\)
   \( \Leftrightarrow n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)\left( {\frac{1}{6} – \frac{{n – 3}}{{24}}} \right) = 0\)
   \( \Leftrightarrow n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)\left( {\frac{{4 – n + 3}}{{24}}} \right) = 0\)
   \( \Leftrightarrow n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)\left( {\frac{{7 – n}}{{24}}} \right) = 0\)
   \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = 1\\n = 2\\n = 7\end{array} \right.\)
   Mà n ≥ 4 nên chọn n = 7.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Có 3 ứng viên cho 1 vị trí làm việc. Hội đồng tuyển dụng có 5 người, mỗi người bầu cho đúng 1 ứng viên. Số cách bầu của hội đồng là A. \(C_5^3\). B. 53. C. 35. D. Không số nào trong các số đó.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Có 3 ứng viên cho 1 vị trí làm việc. Hội đồng tuyển dụng có 5 người, mỗi người bầu cho đúng 1 ứng viên. Số cách bầu của hội đồng là
   A. \(C_5^3\).
   B. 5³.
   C. 3⁵.
   D. Không số nào trong các số đó.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: C
   Mỗi thành viên của hội đồng có 3 cách bầu khác nhau.
   Số thành viên của hội đồng là 5.
   Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách bầu là: 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 3⁵.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====