Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra chiếc mũ kiểu thứ hai. Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 chiếc. Phân xưởng làm việc 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng. Tính số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất.

Câu hỏi:

Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra chiếc mũ kiểu thứ hai. Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 chiếc. Phân xưởng làm việc 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng. Tính số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất.

Trả lời:

Gọi x, y lần lượt là số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được cao nhất. (Điều kiện: $x\in \mathbb{N},y\in \mathbb{N}$ )
Trong một ngày thị trường tiêu thụ tối đa 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai nên ta có: 0 ≤ x ≤ 200; 0 ≤ y ≤ 240.
Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn và một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn nên tổng số tiền lãi khi bán mũ là T = 24x + 15y.
Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong một giờ phân xưởng làm được 60 chiếc nên thời gian để làm một chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac{1}{60}$   (giờ).
Thời gian làm ra một chiếc kiểu mũ thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai nên thời gian để làm một chiếc mũ kiểu thứ nhất là $2.\frac{1}{60}=\frac{1}{30}$ (giờ).
Thời gian để làm x chiếc mũ kiểu thứ nhất là $\frac{1}{30}x$  (giờ).
Thời gian để làm y chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac{1}{60}y$  (giờ).
Tổng thời gian để làm hai loại mũ trong một ngày là $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y$  (giờ).
Vì một ngày phân xưởng làm việc 8 tiếng nên $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y\le 8\iff 2x+y\le 480$ .
Khi đó bài toán đã cho đưa về: Tìm x, y là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+y\le 480\\ 0\le x\le 200\\ 0\le y\le 240\end{array}\right.\left(I\right)$ sao cho T = 24x + 15y có giá trị lớn nhất.
Trước hết, ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền ngũ giác ACDEO với A(0; 240), C(120; 240), D(200; 80), E(200; 0), O(0; 0) (hình dưới).
(A là giao điểm của trục tung và đường thẳng y = 240; C là giao điểm của đường thẳng y = 240 và 2x + y = 480, D là giao điểm của đường thẳng 2x + y = 480 và x = 200, E là giao điểm của trục hoành và đường thẳng x = 200).

Người ta chứng minh được: Biểu thức T = 24x + 15y có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ACDEO.
Tính giá trị của biểu thức T = 24x + 15y tại các cặp số (x; y) là tọa độ các đỉnh của ngũ giác ACDEO:
+ Tại đỉnh A: T = 24 . 0 + 15 . 240 = 3600
+ Tại đỉnh C: T = 24 . 120 + 15 . 240 = 6480
+ Tại đỉnh D: T = 24 . 200 + 15 . 80 = 6000
+ Tại đỉnh E: T = 24 . 200 + 15 . 0 = 4800
+ Tại đỉnh O: T = 0
Có 0 < 3600 < 4800 < 6000 < 6480
So sánh giá trị của biểu thức T tại các đỉnh, ta thấy T đạt giá trị lớn nhất bằng 6480 khi x 120 và y = 240 ứng với tọa độ đỉnh C.
Vậy để tiền lãi thu được là cao nhất, trong một ngày xưởng cần sản xuất 120 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Khi đó tiền lãi là 6480 nghìn đồng hay 6 480 000 đồng.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Quảng cáo sản phẩm trên truyền hình là một hoạt động quan trọng trong kinh doanh của các doanh nghiệp. Theo Thông báo số 10/2019, giá quảng cáo trên VTV1 là 30 triệu đồng cho 15 giây/1 lần quảng cáo vào khoảng 20h30; là 6 triệu đồng cho 15 giây/1 lần quảng cáo vào khung giờ 16h00 – 17h00. Một công ty dự định chi không quá 900 triệu đồng để quảng cáo trên VTV1 với yêu cầu quảng cáo về số lần phát như sau: ít nhất 10 lần quảng cáo vào khoảng 20h30 và không quá 50 lần quảng cáo vào khung giờ 16h00 – 17h00. Gọi x, y lần lượt là số lần phát quảng cáo vào khoảng 20h30 và vào khung giờ 16h00 – 17h00. Trong toán học, các điều kiện ràng buộc đối với x và y để đáp ứng nhu cầu trên của công ty được thể hiện như thế nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Quảng cáo sản phẩm trên truyền hình là một hoạt động quan trọng trong kinh doanh của các doanh nghiệp. Theo Thông báo số 10/2019, giá quảng cáo trên VTV1 là 30 triệu đồng cho 15 giây/1 lần quảng cáo vào khoảng 20h30; là 6 triệu đồng cho 15 giây/1 lần quảng cáo vào khung giờ 16h00 – 17h00. Một công ty dự định chi không quá 900 triệu đồng để quảng cáo trên VTV1 với yêu cầu quảng cáo về số lần phát như sau: ít nhất 10 lần quảng cáo vào khoảng 20h30 và không quá 50 lần quảng cáo vào khung giờ 16h00 – 17h00. Gọi x, y lần lượt là số lần phát quảng cáo vào khoảng 20h30 và vào khung giờ 16h00 – 17h00.
   Trong toán học, các điều kiện ràng buộc đối với x và y để đáp ứng nhu cầu trên của công ty được thể hiện như thế nào?

   Trả lời:

   Công ty yêu cầu quảng cáo với số lần phát như sau: ít nhất 10 lần quảng cáo vào khoảng 20h30 và không quá 50 lần quảng cáo vào khung giờ 16h00 – 17h00.
   Gọi x, y lần lượt là số lần phát quảng cáo vào khoảng 20h30 và vào khung giờ 16h00 – 17h00.
   Do đó: $x\in \mathbb{N},y\in \mathbb{N}$ , x ≥ 10 và 0 ≤ y ≤ 50.
   Mỗi lần quảng cáo vào khung giờ 20h30 có giá là 30 triệu đồng nên chi phí để phát x lần quảng cáo vào khung giờ này là 30x (triệu đồng).
   Mỗi lần phát quảng cáo vào khung giờ 16h00 – 17h00 có giá là 6 triệu đồng nên chi phí để phát y lần quảng cáo vào khung giờ này là 6y (triệu đồng).
   Tổng chi phí để phát x lần quảng cáo vào khoảng 20h30 và y lần quảng cáo vào khung giờ 16h00 – 17h00 là: 30x + 6y (triệu đồng).
   Công ty dự định chi không quá 900 triệu đồng để quảng cáo nên 30x + 6y ≤ 900
   ⇔ 5x + y ≤ 150.  
   Vậy các điều kiện ràng buộc đối với x và y để đáp ứng nhu cầu của công ty là: x ≥ 10, 0 ≤  y ≤ 50, 5x + y ≤ 150, với $x\in \mathbb{N},y\in \mathbb{N}$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hệ bất phương trình sau: x−y−2      2 a) Mỗi bất phương trình (1) và (2) có là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không? b) Chỉ ra một nghiệm chung của hai bất phương trình (1) và (2) trong hệ trên.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x-y<3\left(1\right)\\ x+2y>-2\left(2\right)\end{array}\right.$

   a) Mỗi bất phương trình (1) và (2) có là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không?
   b) Chỉ ra một nghiệm chung của hai bất phương trình (1) và (2) trong hệ trên.

   Trả lời:

   a) Bất phương trình (1) có dạng ax + by < c (a và b không đồng thời bằng 0, với a = 1, b = – 1, c = 3).
   Bất phương trình (2) có dạng ax + by > c (a và b không đồng thời bằng 0, với a = 1, b = 2, c = – 2) 
   Vậy mỗi bất phương trình (1) và (2) đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn x và y.
   b) Chọn x0 = 2, y0 = 1. Khi đó:
   (1) ⇔ 2 – 1 < 3 ⇔ 1 < 3 (luôn đúng) nên (2; 1) là nghiệm của bất phương trình (1)
   (2) ⇔ 2 + 2.1 > – 2 ⇔ 4 > – 2 (luôn đúng) nên (2; 1) là nghiệm của bất phương trình (2)
   Vậy cặp số (2; 1) là một nghiệm chung của hai bất phương trình (1) và (2) trong hệ trên.
   Chú ý: Ta có thể chọn cặp số khác thỏa mãn là nghiệm chung của hai bất phương trình (1) và (2), chẳng hạn (1; 0), (4; 2),…

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Chỉ ra một nghiệm của hệ bất phương trình sau: 2x+y>0x−3y
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chỉ ra một nghiệm của hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}2x+y>0\\ x-3y<6\\ x-y\ge -4.\end{array}\right.$

   Trả lời:

   Chọn cặp số (1; 1)
   Ta có: 2 . 1 + 1 = 2 + 1 = 3 > 0 nên (1; 1) là nghiệm của bất phương trình 2x + y > 0.
   Lại có: 1 – 3 . 1 = 1 – 3 = – 2 < 6 nên (1; 1) là nghiệm của bất phương trình x – 3y < 6.
   Ta cũng có: 1 – 1 = 0 > – 4 nên (1; 1) là nghiệm của bất phương trình x – y ≥ 4.
   Do đó (1; 1) là nghiệm chung của ba bất phương trình trong hệ đã cho.
   Vậy (1; 1) là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
    Chú ý: Ta cũng có thể chỉ ra các nghiệm khác của bất phương trình, chẳng hạn (1; 2), (0; 1), …

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hệ bất phương trình sau: x−2y≥−27x−4y≤162x+y≥−4. a) Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bất phương trình bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó. b) Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x-2y\ge -2\\ 7x-4y\le 16\\ 2x+y\ge -4.\end{array}\right.$

   a) Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bất phương trình bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.
   b) Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

   Trả lời:

   a) Trong cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ ba đường thẳng:
   d₁: x – 2y = – 2;
   d₂: 7x – 4y = 16;
   d₃: 2x + y = – 4.
   Đường thẳng d₁ đi qua 2 điểm A(4; 3) và C(– 2; 0)
   Đường thẳng d₂ đi qua 2 điểm A(4; 3) và B(0; – 4)
   Đường thẳng d₃ đi qua hai điểm B(0; – 4) và C(– 2; 0)
   Do tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn các bất phương trình trong hệ đã cho nên miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ lần lượt là những nửa mặt phẳng không bị gạch chứa điểm O(0; 0) (kể cả đường thẳng tương ứng).
   
    
   b) Phần không bị gạch (chứa điểm O(0; 0)) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   Cụ thể, miền nghiệm của hệ là tam giác ABC kể cả miền trong (còn gọi là miền tam giác ABC) với A(4; 3), B(0; – 4) và C(– 2; 0).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau: 3x−y>–3−2x+3y−4.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}3x-y>–3\\ -2x+3y<6\\ 2x+y>-4.\end{array}\right.$

   Trả lời:

   Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ 3 đường thẳng:
   d₁: 3x – y = – 3;
   d₂: – 2x + 3y = 6;
   d₃: 2x + y = – 4.
   Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình.
   Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng không bị gạch sọc không kể đường biên trong hình dưới.
   
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====