Một người quan sát đứng ở bờ sông muốn đo độ rộng của khúc sông chỗ chảy qua vị trí đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ sông song song). Từ vị trí đang đứng A, người đó đo được góc nghiêng α = 35° so với bờ sông tới một vị trí C quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đi dọc bờ sông đến vị trí B cách A một khoảng d = 50m và tiếp tục đo được góc nghiêng β = 65° so với bờ sông tới vị trí C đã chọn (Hình 53). Hỏi độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Câu hỏi:

Một người quan sát đứng ở bờ sông muốn đo độ rộng của khúc sông chỗ chảy qua vị trí đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ sông song song).

Từ vị trí đang đứng A, người đó đo được góc nghiêng α = 35° so với bờ sông tới một vị trí C quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đi dọc bờ sông đến vị trí B cách A một khoảng d = 50m và tiếp tục đo được góc nghiêng β = 65° so với bờ sông tới vị trí C đã chọn (Hình 53). Hỏi độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Trả lời:

Lời giải

Kẻ CH vuông góc với bờ AB.
Xét tam giác ABC, có:
\(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \)
⇒ \(\widehat {ACB} = 180^\circ – \left( {\widehat {ABC} + \widehat {BAC}} \right) = 180^\circ – \left( {35^\circ + 115^\circ } \right) = 30^\circ \)
Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta được:
\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {CAB}}}\)
⇔\(\frac{{50}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{BC}}{{\sin 35^\circ }}\)
⇔\(BC = \frac{{50\sin 35^\circ }}{{\sin 30^\circ }} \approx 57,36\)
Xét tam giác CHB vuông tại B, có:
\(\sin \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BC}} \Leftrightarrow CH = \sin \widehat {CBH}.BC \approx \sin 65^\circ .57,36 \approx 51,98\).
Vậy độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát khoảng 51,98 mét.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho góc nhọn α. Biểu thức (sinα . cotα)2 + (cosα . tanα)2 bằng: A. 2. B. tan2α + cot2α. C. 1. D. sinα + cosα.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho góc nhọn α. Biểu thức (sinα . cotα)² + (cosα . tanα)² bằng:
   A. 2.
   B. tan²α + cot²α.
   C. 1.
   D. sinα + cosα.

   Trả lời:

   Lời giải
   Đáp án đúng là C
   Ta có: (sinα . cotα)² + (cosα . tanα)²
   = (sinα.\(\frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{\sin \alpha }}\))² + (cosα.\(\frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{cos\alpha }}\))²
   = cos²α + sin²α
   = 1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \). Phát biểu nào sau đây là đúng? A.a→.b→ =|a→|.|b→|.|cos⁢(a→;b→)|. B. \(\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\). C. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{sin}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\). D. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \). Phát biểu nào sau đây là đúng?
   $A.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\mathrm{ }=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.|\cos (\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})|.$
   B. \(\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).
   C. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{sin}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).
   D. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).

   Trả lời:

   Lời giải
   Đáp án đúng là D
   Với \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \) ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tứ giác ABCD. Biểu thức \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} \) bằng: A. CD2. B. 0. C. \(\overrightarrow 0 \). D. 1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ giác ABCD. Biểu thức \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} \) bằng:
   A. CD².
   B. 0.
   C. \(\overrightarrow 0 \).
   D. 1.

   Trả lời:

   Lời giải
   Đáp án đúng là B
   Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)\)
   \( = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right)\)
   \( = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow 0 = 0\)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho góc nhọn α. Biểu thức tanα . tan(90°– α) bằng: A. tanα + cotα. B. tan2α C. 1. D. tan2α + cot2α.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho góc nhọn α. Biểu thức tanα . tan(90°– α) bằng:
   A. tanα + cotα.
   B. tan²α
   C. 1.
   D. tan²α + cot²α.

   Trả lời:

   Lời giải
   Đáp án đúng là C
   tanα . tan(90°– α)
   = tanα . cotα
   = 1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho α thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\). Tính cosα, tanα, cotα, sin(90° – α), cos(90° – α), sin(180° – α), cos(180° – α) trong các trường hợp sau: 0° < α < 90°;
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho α thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\). Tính cosα, tanα, cotα, sin(90° – α), cos(90° – α), sin(180° – α), cos(180° – α) trong các trường hợp sau:
   0° < α < 90°;

   Trả lời:

   Lời giải
   Ta có: \({\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\)
   ⇔ \({\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + co{s^2}\alpha = 1\)
   ⇔ \(co{s^2}\alpha = 1 – {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}\)
   ⇔ \(co{s^2}\alpha = 1 – \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\)
   ⇔ \(cos\alpha = \frac{4}{5}\) hoặc \(cos\alpha = – \frac{4}{5}\)
   Vì 0° < α < 90° nên \(cos\alpha = \frac{4}{5}\)
   ⇒ \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{\frac{4}{5}}} = \frac{3}{4}\)
   ⇒ \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{3}{4}}} = \frac{4}{3}\)
   Áp dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau, ta được:
   sin(90° – α) = cosα = \(\frac{4}{5}\);
   cos(90° – α) = sinα = \(\frac{3}{5}\);
   sin(180° – α) = sinα = \(\frac{3}{5}\);
   cos(180° – α) = –cosα = \( – \frac{4}{5}\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====