Một chuỗi nhà hàng ăn nhanh bán đồ ăn từ 10h00 sáng đến 22h00 mỗi ngày. Nhân viên phục vụ của nhà hàng làm việc theo hai ca, mỗi ca 8 tiếng, ca I từ 10h00 đến 18h00 và ca II từ 14h00 đến 22h00. Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ (bảng dưới). Để mỗi nhà hàng hoạt động được thì cần tối thiểu 6 nhân viên trong khoảng 10h00 – 18h00, tối thiểu 24 nhân viên trong khoảng thời gian cao điểm 14h00 – 18h00 và không quá 20 nhân viên trong khoảng 18h00 – 22h00. Do số lượng khách trong khoảng 14h00 – 22h00 thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca I. Em hãy giúp chủ chuỗi nhà hàng chỉ ra cách huy động số lượng nhân viên cho mỗi ca sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất.

Câu hỏi:

Một chuỗi nhà hàng ăn nhanh bán đồ ăn từ 10h00 sáng đến 22h00 mỗi ngày. Nhân viên phục vụ của nhà hàng làm việc theo hai ca, mỗi ca 8 tiếng, ca I từ 10h00 đến 18h00 và ca II từ 14h00 đến 22h00. Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ (bảng dưới).

Để mỗi nhà hàng hoạt động được thì cần tối thiểu 6 nhân viên trong khoảng 10h00 – 18h00, tối thiểu 24 nhân viên trong khoảng thời gian cao điểm 14h00 – 18h00 và không quá 20 nhân viên trong khoảng 18h00 – 22h00. Do số lượng khách trong khoảng 14h00 – 22h00 thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca I. Em hãy giúp chủ chuỗi nhà hàng chỉ ra cách huy động số lượng nhân viên cho mỗi ca sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất.

Trả lời:

Gọi số nhân viên ca I cần huy động là x (nhân viên), số nhân viên ca II cần huy động là y (nhân viên) (x, y > 0; $x,y\in \mathbb{Z}$ ).
Do ca I từ 10h00 – 18h00 và ca II từ 14h00 – 22h00 nên số nhân viên trong thời gian từ 14h00 – 18h00 chính là tổng số nhân của 2 ca và là x + y (nhân viên), x + y > 0.
Vì cần tối thiểu 6 nhân viên trong khoảng 10h00 – 18h00 (ca I) nên x ≥ 6.
Cần tối thiểu 24 nhân viên trong khoảng thời gian cao điểm 14h00 – 18h00 (giao giữa hai ca) nên x + y ≥ 24.
Cần không quá 20 nhân viên trong khoảng 18h00 – 22h00 (trong khoảng thời gian này chỉ còn lại y nhân viên của ca II làm) nên 0 < y ≤ 20.
Do số lượng khách trong khoảng 14h00 – 22h00 thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca I nên y ≥ 2x.
Quan sát bảng đã cho ta thấy:
+ Tiền lương trong 1 giờ ở ca I là 20 000 đồng nên 1 nhân viên làm việc 1 ngày trong ca I có tiền lương là 20 000 . 8 = 160 000 đồng.
+ Tiền lương trong 1 giờ của ca II là 22 000 đồng nên 1 nhân viên làm việc 1 ngày trong ca II có tiền lương là 22 000 . 8 = 176 000 đồng.
Do đó tổng chi phí tiền lương cho x nhân viên ca I và y nhân viên ca II trong một ngày là T = 160 000x + 176 000y (đồng).
Khi đó bài toán đã cho đưa về: Tìm x, y là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x+y>0\\ x\ge 6\\ x+y\ge 24\\ 0<y\le 20\\ y\ge 2x\end{array}\right.$  (*) sao cho T = 160 000x + 176 000y có giá trị là nhỏ nhất.
Trước hết, ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) bằng cách vẽ đồ thị.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là miền tứ giác ABCD với A(6; 18), B(6; 20), C(10; 20), D(8; 16).
Người ta chứng minh được: Biểu thức T = 160 000x + 176 000 y có giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.
Tính giá trị của biểu thức T tại các cặp số (x; y) là tọa độ các đỉnh của tứ giác, ta có:
T_A = 160 000 . 6 + 176 000 . 18 = 4 128 000
T_B = 160 000 . 6 + 176 000 . 20 = 4 480 000
T_C = 160 000 . 10 + 176 000 . 20 = 5 120 000
T_D = 160 000 . 8 + 176 000 . 16 = 4 096 000
So sánh các giá trị trên ta thấy T nhỏ nhất bằng 4 096 000 khi x = 8 và y = 16 ứng với tọa độ đỉnh D.
Vậy để chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất thì chuỗi nhà hàng cần huy động 8 nhân viên ca I và 16 nhân viên ca II, khi đó chi phí tiền lương cho 1 ngày là 4 096 000 đồng.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Biểu diễn miền nghiện của bất phương trình: a) 3x – y > 3; b) x + 2y ≤ – 4; c) y ≥ 2x – 5.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biểu diễn miền nghiện của bất phương trình:
   a) 3x – y > 3;
   b) x + 2y ≤ – 4;
   c) y ≥ 2x – 5.

   Trả lời:

   a) 3x – y > 3
   + Vẽ đường thẳng d: 3x – y = 3.
   Đường thẳng d đi qua hai điểm (0; – 3) và (1; 0).
   + Lấy điểm O(0; 0). Ta có: 3 . 0 – 0 = 0 < 3.
   
    
   Vậy miền nghiệm của bất phương trình 3x – y > 3 là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên không chứa điểm O(0; 0) không kể đường thẳng d.
   b) x + 2y ≤ – 4
   + Vẽ đường thẳng d: x + 2y = – 4.
   Đường thẳng d đi qua 2 điểm (0; – 2) và (– 4; 0).
   + Lấy điểm O(0; 0). Ta có: 0 + 2. 0 = 0 > – 4.
   
   Vậy miền nghiệm của bất phương trình x + 2y ≤ – 4 là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên không chứa điểm O(0; 0) kể cả đường thẳng d.
   c) y ≥ 2x – 5
   ⇔ 2x – y ≤ 5
   + Vẽ đường thẳng d: 2x – y = 5.
   Đường thẳng d đi qua hai điểm (0; – 5) và (2,5; 0).
   + Lấy điểm O(0; 0). Ta có: 2 . 0 – 0 = 0 < 5.
   
    Vậy miền nghiệm của bất phương trình 2x – y ≤ 5 hay y ≥ 2x – 5 là nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình trên chứa điểm O(0; 0) kể cả đường thẳng d.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: a) 2x−3y
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:
   a) $\left\{\begin{array}{l}2x-3y<6\\ 2x+y<2;\end{array}\right.$
   b) $\left\{\begin{array}{l}4x+10y\le 20\\ x-y\le 4\\ x\ge -2;\end{array}\right.$
   c) $\left\{\begin{array}{l}x-2y\le 5\\ x+y\ge 2\\ x\ge 0\\ y\le 3.\end{array}\right.$

   Trả lời:

   a) $\left\{\begin{array}{l}2x-3y<6\\ 2x+y<2\end{array}\right.$
   + Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng:
   d₁: 2x – 3y = 6;
   d₂: 2x + y = 2.
   + Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của từng bất phương trình của hệ.
   
   Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không gạch sọc ở hình trên không kể đường thẳng d₁ và d₂.
   b) $\left\{\begin{array}{l}4x+10y\le 20\\ x-y\le 4\\ x\ge -2\end{array}\right.$
   + Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng:
   d₁: 4x + 10y = 20;
   d₂: x – y = 4;
   d₃: x = – 2.
   + Gạch đi những phần không thuộc miền nghiệm của từng bất phương trình của hệ.
   
   Miền nghiệm của hệ là phần không bị gạch trong hình kể cả biên.
   A là giao điểm của d₁ và d₃ nên A(– 2; 2,8)
   B là giao điểm của d₁ và d₂ nên B $\left(\frac{30}{7};\frac{2}{7}\right)$
   C là giao điểm của d₂ và d₃ nên C(– 2; – 6).
   Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC.
   c) $\left\{\begin{array}{l}x-2y\le 5\\ x+y\ge 2\\ x\ge 0\\ y\le 3\end{array}\right.$
   + Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng:
   d₁: x – 2y = 5;
   d₂: x + y = 2;
   d₃: x = 0 là trục tung;
   d₄: y = 3.
   + Gạch đi những phần không thuộc miền nghiệm của từng bất phương trình của hệ.
   
   Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD với A(0; 2), B(0; 3), C(11; 3), D(3; – 1).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Nhu cầu canxi tối thiểu cho một người đang độ tuổi trưởng thành trong một ngày là 1 300 mg. Trong 1 lạng đậu nành có 165 mg canxi, 1 lạng thịt có 15 mg canxi. (Nguồn: https://hongngochosspital.vn) Gọi x, y lần lượt là số lạng đậu nành và số lạng thịt lợn mà một người đang độ tuổi trưởng thành ăn trong một ngày. a) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y để biểu diễn lượng canxi cần thiết trong một ngày của một người trong độ tuổi trưởng thành. b) Chỉ ra một nghiệm (x0; y0) với x0; y0  của bất phương trình đó.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Nhu cầu canxi tối thiểu cho một người đang độ tuổi trưởng thành trong một ngày là 1 300 mg. Trong 1 lạng đậu nành có 165 mg canxi, 1 lạng thịt có 15 mg canxi. (Nguồn: https://hongngochosspital.vn)
   Gọi x, y lần lượt là số lạng đậu nành và số lạng thịt lợn mà một người đang độ tuổi trưởng thành ăn trong một ngày.
   a) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y để biểu diễn lượng canxi cần thiết trong một ngày của một người trong độ tuổi trưởng thành.
   b) Chỉ ra một nghiệm (x0; y0) với x0; y0  của bất phương trình đó.

   Trả lời:

   a) Trong 1 lạng đậu nành có 165 mg canxi nên trong x lạng đậu nành có 165x (mg canxi).
   Trong 1 lạng thịt có 15 mg canxi nên trong y lạng thịt có 15y (mg canxi).
   Tổng số lượng canxi có trong x lạng đậu nành và y lạng thịt là 165x + 15y (mg canxi).
   Vì nhu cầu canxi tối thiểu cho một người đang độ tuổi trưởng thành trong một ngày là 1300 mg nên 165x + 15y ≥ 1300.
   Vậy bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu diễnlượng canxi cần thiết trong một ngày của một người trong độ tuổi trưởng thành là 165x + 15y ≥ 1300.
   b) (x₀; y₀) là nghiệm của bất phương trình trên nếu 165x₀ + 15y₀ ≥ 1300.
   Do x₀; y₀ $\in \mathbb{Z}$  nên ta chọn x₀ = 7; y₀ = 10, ta có: 165 . 7 + 15 . 10 = 1305 > 1300.
   Vậy (7; 10) là một nghiệm nguyên của bất phương trình.
    Chú ý: có nhiều cặp số (x₀; y₀) thỏa mãn yêu cầu, ta có thể chọn cặp tùy ý, miễn sao 165x₀ + 15y₀ ≥ 1300 và x₀; y₀ $\in \mathbb{Z}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Bác Ngọc thực hiện chế độ ăn kiêng với yêu cầu tối thiểu hằng ngày qua thức uống là 300 ca – lo, 36 đơn vị vitamin A và 90 đơn vị vitamin C. Một cốc đồ uống ăn kiêng thứ nhất cung cấp 60 ca – lo, 12 đơn vị vitamin A và 10 đơn vị vitamin C. Một cốc đồ uống ăn kiêng thứ hai cung cấp 60 ca – lo, 6 đơn vị vitamin A và 30 đơn vị vitamin C. a) Viết hệ bất phương trình mô tả số lượng cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai mà bác Ngọc nên uống mỗi ngày để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số ca – lo và số đơn vị vitamin hấp thụ. b) Chỉ ra hai phương án mà bác Ngọc có thể chọn lựa số lượng cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai nhằm đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số ca – lo và số đơn vị vitamin hấp thụ.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Bác Ngọc thực hiện chế độ ăn kiêng với yêu cầu tối thiểu hằng ngày qua thức uống là 300 ca – lo, 36 đơn vị vitamin A và 90 đơn vị vitamin C. Một cốc đồ uống ăn kiêng thứ nhất cung cấp 60 ca – lo, 12 đơn vị vitamin A và 10 đơn vị vitamin C. Một cốc đồ uống ăn kiêng thứ hai cung cấp 60 ca – lo, 6 đơn vị vitamin A và 30 đơn vị vitamin C.
   a) Viết hệ bất phương trình mô tả số lượng cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai mà bác Ngọc nên uống mỗi ngày để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số ca – lo và số đơn vị vitamin hấp thụ.
   b) Chỉ ra hai phương án mà bác Ngọc có thể chọn lựa số lượng cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai nhằm đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số ca – lo và số đơn vị vitamin hấp thụ.

   Trả lời:

   a) Gọi x, y lần lượt là số lượng cốc đồ uống thứ nhất và thứ hai mà bác Ngọc nên uống mỗi ngày để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với số ca – lo và số đơn vị vitamin hấp thụ (điều kiện x, y$\in \mathbb{N}$ ).
   Tổng số ca – lo mà x cốc thứ nhất và y cốc thứ hai cung cấp là: 60x + 60y (ca – lo).
   Tổng số đơn vị vitamin A mà x cốc thứ nhất và y cốc thứ hai cung cấp là: 12x + 6y (đơn vị).
   Tổng số đơn vị vitamin C mà x cốc thứ nhất và y cốc thứ hai cung cấp là: 10x + 30y (đơn vị).
    Vì tối thiểu hằng ngày cần 300 ca – lo, 36 đơn vị vitamin A và 90 đơn vị vitamin C.
   Nên ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}60x+60y\ge 300\\ 12x+6y\ge 36\\ 10x+30y\ge 90\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x+y\ge 5\\ 2x+y\ge 6\\ x+3y\ge 9\end{array}\right.$  (I).
   b) Số cốc cho đồ uống thứ nhất và thứ hai thỏa mãn yêu cầu bài toán là nghiệm của hệ (I).
   + Phương án 1: Chọn x = 1, y = 4, thay vào từng bất phương trình của hệ:
   1 + 4 ≥ 5 là mệnh đề đúng;
   2 . 1 + 4 ≥ 6 là mệnh đề đúng;
   1 + 3. 4 ≥ 9 là mệnh đề đúng.
   Vậy (1; 4) là nghiệm chung của các bất phương trình của hệ nên (1; 4) là nghiệm của hệ (I).
   Do đó, bác Ngọc có thể chọn 1 cốc thứ nhất và 4 cốc thứ hai.
    + Phương án 2: Chọn x = 3, y = 4, thay vào từng bất phương trình của hệ:
   3 + 4 ≥ 5 là mệnh đề đúng;
   2 . 3 + 4 ≥ 6 là mệnh đề đúng;
   3 + 3 . 4 ≥ 9 là mệnh đề đúng.
   Vậy (3; 4) là nghiệm chung của các bất phương trình của hệ nên (3; 4) là nghiệm của hệ (I).
   Do đó, bác Ngọc có thể chọn 3 cốc thứ nhất và 4 cốc thứ hai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy. a) -2x + y – 1 ≤ 0; b) -x + 2y > 0; c) x – 5y < 2 d) -3x + y + 2 ≤ 0; e) 3(x – 1) + 4(y – 2 ) < 5x – 3.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
   a) -2x + y – 1 ≤ 0;
   b) -x + 2y > 0;
   c) x – 5y < 2
   d) -3x + y + 2 ≤ 0;
   e) 3(x – 1) + 4(y – 2 ) < 5x – 3.

   Trả lời:

   a) Vẽ đường thẳng a: -2x + y – 1 = 0 đi qua hai điểm A(0; 1) và B($-\frac{1}{2}$; 0).
   Xét gốc tọa độ O(0 ;0). Ta thấy O ∉ a và -2.0 + 0 – 1 = -1 ≤ 0.
   Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình -2x + y – 1 ≤ 0.
   Do đó, miền nghiệm của bất phương trình -2x + y – 1 ≤ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ a, có chứa gốc O (là miền tô màu trong hình vẽ sau).
   

   b) Vẽ đường thẳng b: – x + 2y = 0 đi qua hai điểm O(0; 0) và B(2 ;1).
   Xét điểm C(0 ; 1). Ta thấy C ∉ b và – 0 + 2.1 = 2 > 0.
   Suy ra (0 ; 1) là nghiệm của bất phương trình – x + 2y > 0
   Do đó, miền nghiệm của bất phương trình – x + 2y > 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ b, có chứa điểm C(0 ; 1) (là miền tô màu trong hình vẽ sau).
   

   c) Ta có : x – 5y < 2 ⇔ x – 5y – 2 < 0
   Vẽ đường thẳng c: x – 5y – 2 = 0 đi qua hai điểm A(0; $\frac{-2}{5}$) và B(2 ; 0).
   Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy O ∉ c và 0 – 5.0 – 2 = – 2 < 0.
   Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình x – 5y – 2 < 0
   Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x – 5y – 2 < 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ c, có chứa gốc O (là miền tô màu trong hình vẽ sau).
   

   d) Vẽ đường thẳng d: -3x + y + 2 = 0 đi qua hai điểm A(0; -2) và B($\frac{2}{3}$; 0).
   Xét gốc tọa độ O(0 ; 0). Ta thấy O ∉ d và -3.0 + 0 + 2 = 2 > 0.
   Suy ra (0 ; 0) không là nghiệm của bất phương trình -3x + y + 2 ≤ 0
   Do đó, miền nghiệm của bất phương trình -3x + y + 2 ≤ 0 là nửa mặt phẳng kể cả bờ d, không chứa gốc O (là miền tô màu trong hình vẽ sau).
   

   e) 3(x – 1) + 4(y – 2 ) < 5x – 3.
   ⇔ 3x – 3 + 4y – 8 < 5x – 3
   ⇔ 3x – 3 + 4y – 8 – 5x + 3 < 0
   ⇔ – 2x + 4y – 8 < 0
   . ⇔ – x + 2y – 4 < 0.
   Vẽ đường thẳng e: – x + 2y – 4 = 0.đi qua hai điểm A(0; 2) và B(-4 ; 0).
   Xét gốc tọa độ O(0 ;0). Ta thấy O ∉ e và – 0 + 2. 0 – 4 = – 4 < 0.
   Suy ra (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình – x + 2y – 4 < 0.
   Do đó, miền nghiệm của bất phương trình – x + 2y – 4 < 0 là nửa mặt phẳng không kể bờ e, có chứa gốc O (là miền tô màu trong hình vẽ sau).
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====