Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm O bất kì đều có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OI} .\)

By 0

Câu hỏi:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm O bất kì đều có
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OI} .\)

Trả lời:

Lời giải
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm O bất kì đều có vecto OA + vecto OB (ảnh 1)
Với điểm O bất kì ta có:
+) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \) (do M là trung điểm của AB)
+) \(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON} \) (do N là trung điểm của CD)
+) \(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow {OI} \) (do I là trung điểm của MN)
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {ON} \)
\( = 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = 2.2\overrightarrow {OI} = 4\overrightarrow {OI} \)
Vậy với điểm O bất kì đều có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OI} .\)

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

  1. Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BE} .\)

    Câu hỏi:

    Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BE} .\)

    Trả lời:

    Lời giải
    Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ AB , vectơ BC , vectơ CA theo hai vectơ (ảnh 1)
    Ta có:
    +) D là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} \)
    +) E là trung điểm của AC nên \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AE} \)
    Do đó \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AE} = 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} } \right)\)
    \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} } \right) = 2\overrightarrow {AD} \)
    \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {AD} \)
    \( \Rightarrow 3\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {AD} \)
    \( \Rightarrow 3\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AD} – 2\overrightarrow {BE} \)
    \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)
    +) Vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} \) nên \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} \)
    Mà \(\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)
    \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} – \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)\)
    \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)
    \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)
    \( \Rightarrow \overrightarrow {CA} = – \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)
    +) \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} \) (quy tắc hiệu)
    \( \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {\frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right) – \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)\)
    \( \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} – \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)
    \( \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE} \)
    Vậy \(\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} ;\) \(\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE} \) và \(\overrightarrow {CA} = – \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} .\)

    ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

  2. Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} ,\) \(2\overrightarrow {OA} – 3\overrightarrow {OB} .\)

    Câu hỏi:

    Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} ,\) \(2\overrightarrow {OA} – 3\overrightarrow {OB} .\)

    Trả lời:

    Lời giải
    Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau vectơ OA + vectơ OB , vectơ OA - vectơ OB (ảnh 1)
    Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành
    Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông
    OC = AB
    Mà AB2 = OA2 + OB2 (định lí Pythagoras)
    AB2 = a2 + a2 = 2a2
    \( \Rightarrow OC = AB = a\sqrt 2 \)
    +) Có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} \) (quy tắc hình bình hành)
    \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC = a\sqrt 2 \)
    +) Có: \(\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA} \)
    \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = a\sqrt 2 \)
    +) Lấy điểm D sao cho \(\overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OB} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {OD} \), \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng và OD = 2OB.
    Có: \(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} \)
    Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE} \)
    \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE\)
    Mà OE2 = OD2 + DE2 (định lí Pythagoras)
    OE2 = (2OB)2 + OA2
    OE2 = (2a)2 + a2 = 5a2
    \( \Rightarrow OE = a\sqrt 5 \)
    Do đó \(\left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 5 \)
    +) Lấy điểm G sao cho \(\overrightarrow {OG} = 2\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OB} \)
    Khi đó: hai vectơ \(\overrightarrow {OG} \), \(\overrightarrow {OA} \) cùng hướng và OG = 2OA;
    Và hai vectơ \(\overrightarrow {OH} \), \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng và OH = 3OB.
    Có: \(2\overrightarrow {OA} – 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OG} – \overrightarrow {OH} \)
    \( = \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {HO} \) \( = \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OG} \)
    \( = \overrightarrow {HG} \)
    \( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {OA} – 3\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {HG} } \right| = HG\)
    Mà HG2 = OG2 + OH2 (định lí Pythagoras)
    HG2 = (2OA)2 + (3OB)2
    HG2 = (2a)2 + (3a)2
    HG2 = 13a2
    \( \Rightarrow HG = a\sqrt {13} \)
    Do đó \(\left| {2\overrightarrow {OA} – 3\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt {13} .\)
    Vậy \(\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 2 ;\)\(\left| {\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 2 ;\)\(\left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 5 \) và \(\left| {2\overrightarrow {OA} – 3\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt {13} .\)

    ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

  3. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\)

    Câu hỏi:

    Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
    Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\)

    Trả lời:

    Lời giải
    Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng vecto AH = 2 vecto OM (ảnh 1)
    Kẻ đường kính AD. Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ \)
    Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC
    Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH ⊥ AC, CH ⊥ AB
    BH /// CD và CH // BD
    BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
    Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)
    Mà M là trung điểm của BC
    M là trung điểm của HD
    Mà O là trung điểm của AD
    Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD
    OM // AH và \(AH = 2.OM\) (tính chất đường trung bình)
    Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {OM} \) có:
    + Cùng phương, cùng hướng
    + Độ dài: \(\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\)
    \( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\)
    Vậy \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\)

    ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

  4. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\)

    Câu hỏi:

    Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
    Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\)

    Trả lời:

    Lời giải
    Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng vecto OA + vecto OB + vecto OC = vecto OH (ảnh 1)
    Vì
    M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM} \)
    Mà \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \) (câu a)
    \( \Rightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AH} \)
    \( \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AH} \)
    \( \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\)
    Vậy \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\)

    ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

  5. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.

    Câu hỏi:

    Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
    Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.

    Trả lời:

    Lời giải
    Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng. (ảnh 1)
    Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} .\)
    Mà \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \) (câu b)
    Suy ra \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)
    Khi đó \(\overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OG} \) cùng phương, cùng hướng
    O, H, G thẳng hàng.
    Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

    ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

Bài liên quan:

Leave a Comment

Back to Top
Menu