Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB = a. Độ dài của u→=214OA→−52OB→ là:

Câu hỏi:

Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB = a. Độ dài của $\overrightarrow{u}=\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}-\frac{5}{2}\overrightarrow{OB}$ là:

A. $\frac{a\sqrt{140}}{4}$

B. $\frac{a\sqrt{321}}{4}$

C. $\frac{a\sqrt{520}}{4}$

D. $\frac{a\sqrt{541}}{4}$

Đáp án chính xác

Trả lời:

 Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D

Dựng điểm M, N sao cho $\overrightarrow{OM}=\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{ON}=\frac{5}{2}\overrightarrow{OB}$. Khi đó ta có:
$\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}-\frac{5}{2}\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}\right|=\left|\overrightarrow{NM}\right|=MN$.
Từ dữ kiện $\overrightarrow{OM}=\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}$.
Ta suy ra $\overrightarrow{OM}$ cùng phương với $\overrightarrow{OA}$.
Vì $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OA}$ có cùng điểm đầu là O.
Nên giá của $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OA}$ trùng nhau.
Do đó ta có OM ≡ OA.
Tương tự ta có ON ≡ OB.

Mà OA ⊥ OB (tam giác OAB vuông cân tại O).
Do đó OM ⊥ ON.
Ta có $\overrightarrow{OM}=\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}\iff \left|\overrightarrow{OM}\right|=\left|\frac{21}{4}\overrightarrow{OA}\right|\iff OM=\frac{21}{4}OA=\frac{21a}{4}$.
Tương tự, ta có $\overrightarrow{ON}=\frac{5}{2}\overrightarrow{OB}\iff \left|\overrightarrow{ON}\right|=\left|\frac{5}{2}\overrightarrow{OB}\right|\iff ON=\frac{5}{2}OB=\frac{5a}{2}$.
Tam giác OMN vuông tại O: $M{N}^2=O{M}^2+O{N}^2$ (Định lý Pytago)
$\iff M{N}^2=\frac{441a^2}{16}+\frac{25a^2}{4}=\frac{541a^2}{16}$
$\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{541}}{4}$.
Vậy ta chọn đáp án D.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho 5 điểm M, N, P, Q, R. Tính tổng MN→+PQ→+RN→+NP→+QR→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho 5 điểm M, N, P, Q, R. Tính tổng $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{QR}$.

   A. $\overrightarrow{MR}$

   B. $\overrightarrow{MN}$

   Đáp án chính xác

   C. $\overrightarrow{PR}$

   D. $\overrightarrow{MP}$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: B
   Ta có $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{QR}=\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}\right)+\left(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}\right)+\overrightarrow{RN}$.
   $=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RN}=\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{RN}=\overrightarrow{MN}$.
   Vậy ta chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Hỏi vectơ MP→+NP→ bằng vectơ nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Hỏi vectơ $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}$ bằng vectơ nào?

   A. $\overrightarrow{AP}$

   B. $\overrightarrow{BP}$

   Đáp án chính xác

   C. $\overrightarrow{MN}$

   D. $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{NB}$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: B
   
   Tam giác ABC có N, P lần lượt là trung điểm BC và AC.
   Do đó NP là đường trung bình của tam giác ABC.
   Suy ra NP = BM (M là trung điểm AB).
   Mà $\overrightarrow{NP},\overrightarrow{BM}$ cùng hướng.
   Do đó $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{BM}$.
   Ta có $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BP}$.
   Vậy ta chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

   A. $\overrightarrow{MN}\left(\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}\right)=\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{PQ}$

   B. $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}$

   Đáp án chính xác

   C. $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{MN}$

   D. $\left(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PQ}\right)\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}\right)=M{N}^2-P{Q}^2$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: B
   Đáp án A đúng theo tính chất phân phối của tích vô hướng.
   Đáp án B sai. Sửa lại: $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}$.
   Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán của tích vô hướng.
   Đáp án D đúng theo bình phương vô hướng và hằng đẳng thức.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm BC. Tính AM→.BC→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm BC. Tính $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}$.

   A. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{b^2-c^2}{2}$

   Đáp án chính xác

   B. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{c^2+b^2}{2}$

   C. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{c^2+b^2+a^2}{2}$

   D. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{c^2+b^2-a^2}{2}$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: A
   Vì M là trung điểm BC nên ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$.
   Khi đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$ 
   $=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2\right)=\frac{1}{2}\left(A{C}^2-A{B}^2\right)=\frac{b^2-c^2}{2}$.
   Vậy ta chọn đáp án A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Nếu AB→=AC→ thì
   
   

   Câu hỏi:
   

   Nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ thì

   A. Tam giác ABC là tam giác cân;

   B. Tam giác ABC là tam giác đều; 

   C. A là trung điểm của đoạn thẳng BC;  

   D. Điểm B trùng với điểm C.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: D
   $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}\Rightarrow$A, B, C là ba điểm thẳng hàng và B, C nằm cùng phía so với A.
   Mà AB = AC nên B ≡ C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====