Câu hỏi:
Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC, N là điểm nằm giữa hai điểm A và C. Đặt x = \(\frac{{AN}}{{AC}}\). Tìm x thỏa mãn AM ⊥ BN.
Trả lời:
Lời giải
Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ABCD
Vì M là trung điểm của BC nên ta có:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \)
⇔ \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BM} – \overrightarrow {BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BA} \)
Ta lại có: \(\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} = – \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} = – \overrightarrow {AB} + x\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = (1 – x)\overrightarrow {BA} + x\overrightarrow {BC} \)
⇒ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BA} } \right)\left[ {(1 – x)\overrightarrow {BA} + x\overrightarrow {BC} } \right]\)
⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \frac{1}{2}(1 – x)\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}x{\overrightarrow {BC} ^2} – \left( {1 – x} \right){\overrightarrow {BA} ^2} – x\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)
⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \frac{1}{2}x.{a^2} – \left( {1 – x} \right){a^2}\)
⇔ \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \left( {\frac{3}{2}x – 1} \right){a^2}\)
Để AM vuông góc với BN thì \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = 0\)
⇔ \(\left( {\frac{3}{2}x – 1} \right){a^2} = 0\)
⇔ \(\frac{3}{2}x – 1 = 0\)
⇔ \(x = \frac{2}{3}\)
Vậy với \(x = \frac{2}{3}\) thì AM ⊥ BN.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho tam giác ABC. Giá trị của \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} \) bằng:
A. AB . AC . cos\(\widehat {BAC}\).
B. – AB . AC . cos\(\widehat {BAC}\).
C. AB . AC . cos\(\widehat {ABC}\).
D. AB . AC . cos\(\widehat {ACB}\).
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC. Giá trị của \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} \) bằng:
A. AB . AC . cos\(\widehat {BAC}\).
B. – AB . AC . cos\(\widehat {BAC}\).
C. AB . AC . cos\(\widehat {ABC}\).
D. AB . AC . cos\(\widehat {ACB}\).Trả lời:
Lời giải
Đáp án đúng là A
Xét tam giác ABC, có:
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} = \left( { – \overrightarrow {AB} } \right).\left( { – \overrightarrow {AC} } \right) = BA.CA.c{\rm{os}}\left( { – \overrightarrow {AB} , – \overrightarrow {AC} } \right)\)
= \(BA.CA.c{\rm{os}}\widehat {BAC}\)
= \(BA.CA.c{\rm{os}}\left( {\widehat {BAC}} \right)\)
Vậy chọn A.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho tam giác ABC. Giá trị của \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \) bằng:
A. AB . BC . cos\(\widehat {ABC}\).
B. AB . AC . cos\(\widehat {ABC}\).
C. – AB . BC . cos\(\widehat {ABC}\).
D. AB . BC . cos\(\widehat {BAC}\).
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC. Giá trị của \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \) bằng:
A. AB . BC . cos\(\widehat {ABC}\).
B. AB . AC . cos\(\widehat {ABC}\).
C. – AB . BC . cos\(\widehat {ABC}\).
D. AB . BC . cos\(\widehat {BAC}\).Trả lời:
Lời giải
Đáp án đúng là A
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = – \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = – AB.BC.\cos \left( { – \overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)
= \( – AB.BC.\cos \left( {180^\circ – \widehat {ABC}} \right)\)
= \(AB.BC.\cos \widehat {ABC}\).
Vậy chọn A.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho đoạn thẳng AB. Tập hợp các điểm M nằm trong mặt phẳng thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0\) là:
A. Đường tròn tâm A bán kính AB.
B. Đường tròn tâm B bán kính AB.
C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB.
D. Đường tròn đường kính AB.
Câu hỏi:
Cho đoạn thẳng AB. Tập hợp các điểm M nằm trong mặt phẳng thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0\) là:
A. Đường tròn tâm A bán kính AB.
B. Đường tròn tâm B bán kính AB.
C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB.
D. Đường tròn đường kính AB.Trả lời:
Lời giải
Đáp án đúng là D
Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0\)
⇒ \(\widehat {\left( {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right)} = \widehat {AMB} = 90^\circ \)
Do đó tập hợp các điểm M thỏa mãn \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) là đường tròn đường kính AB.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Nếu hai điểm M và N thỏa mãn \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NM} = – 9\) thì:
A. MN = 9.
B. MN = 3.
C. MN = 81.
D. MN = 6.
Câu hỏi:
Nếu hai điểm M và N thỏa mãn \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NM} = – 9\) thì:
A. MN = 9.
B. MN = 3.
C. MN = 81.
D. MN = 6.Trả lời:
Lời giải
Đáp án đúng là B
Ta có: \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NM} = MN.MN.cos\left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NM} } \right) = MN.MN.cos180^\circ = – M{N^2}\)
Mà \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NM} = – 9\) nên – MN2 = – 9 ⇔ MN2 = 9 ⇔ MN = 3 (thỏa mãn) hoặc MN = – 3 (không thỏa mãn).
Vậy MN = 3.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho tam giác ABC đều cạnh a. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia BC và CA thỏa mãn \(BM = \frac{1}{3}BC\), \(CN = \frac{5}{4}CA\). Tính:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} \).
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia BC và CA thỏa mãn \(BM = \frac{1}{3}BC\), \(CN = \frac{5}{4}CA\). Tính:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} \).Trả lời:
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)
= \(AB.AC.\cos \widehat {BAC}\)
= \(a.a.\cos 60^\circ \)
= \(\frac{1}{2}{a^2}\)
\(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right).\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right)\)
\( = \left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right).\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = \left[ {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right)} \right].\left( { – \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( { – \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = – \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} .\frac{1}{4}\overrightarrow {AC} – \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\frac{1}{4}\overrightarrow {AC} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)
\( = – \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} – \frac{2}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} – \frac{1}{{12}}{\overrightarrow {AC} ^2} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)
\( = – \frac{1}{6}.\frac{1}{2}{a^2} – \frac{2}{3}.{a^2} – \frac{1}{{12}}.{a^2} – \frac{1}{3}.\frac{1}{2}{a^2}\)
\( = – \frac{1}{{12}}{a^2} – \frac{2}{3}.{a^2} – \frac{1}{{12}}.{a^2} – \frac{1}{6}{a^2}\)
\( = – {a^2}\).====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====