Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông. Tính MA→.MB→+MC→.MD→

Câu hỏi:

Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông. Tính $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}$

A. $\frac{a^2}{2}$

Đáp án chính xác

B. $\frac{a^2}{4}$

C. $\frac{a^2}{8}$

D. 0

Trả lời:

Đáp án A$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right)=2M{O}^2+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)Có \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}\Rightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0,\overrightarrow{OC}\perp \overrightarrow{OD}\Rightarrow \overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OD}=0$Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có bán kính $\frac{a}{2}\Rightarrow MO=\frac{a}{2}\Rightarrow M{O}^2=\frac{a^2}{4}$Vậy $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=2.\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó tỉ số Rr bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ bằng:

   A. $1+\sqrt{2}$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{2+\sqrt{2}}{2}$

   C. $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$

   D. $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

   Trả lời:

   Đáp án ATa có: $R=\frac{abc}{4S},r=\frac{S}{p}$Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên b = c và $a=\sqrt{b^2+c^2}=b\sqrt{2}$Xét tỉ số:$\frac{R}{r}=\frac{abc.p}{4S^2}=\frac{abc.\frac{a+b+c}{2}}{4.\frac{1}{4}.{\left(b.c\right)}^2}=\frac{a\left(a+2b\right)}{2b^2}=\frac{2b^2\left(1+\sqrt{2}\right)}{2b^2}=1+\sqrt{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tam giác đều ABC cạnh 18cm. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA→+3MB→+4MC→=MA→−MB→ là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác đều ABC cạnh 18cm. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$ là:

   A. Tập rỗng

   B. Đường tròn cố định có bán kính R = 2cm

   Đáp án chính xác

   C. Đường tròn cố định có bán kính R = 3cm

   D. Một đường thẳng

   Trả lời:

   Đáp án BTa có: $\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=18$Dựng điểm I thỏa mãn:$2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{AI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AC}$Khi đó:$\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|\iff 9\left|\overrightarrow{MI}\right|=18\iff IM=2$Do đó tập hợp các điểm M là đường tròn cố định có bán kính R = 2cm

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trên nóc một tòa nhà có cột ăng-ten cao 5m. Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 50∘ và 40∘ so với phương nằm ngang (như hình vẽ bên). Chiều cao của tòa nhà (được làm tròn đến hàng phần mười) là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trên nóc một tòa nhà có cột ăng-ten cao 5m. Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc ${50}^{\circ }$ và ${40}^{\circ }$ so với phương nằm ngang (như hình vẽ bên). Chiều cao của tòa nhà (được làm tròn đến hàng phần mười) là:

   A. 21,2m

   B. 14,2m

   C. 11,9m

   D. 18,9m

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DTa có chiều cao của tòa nhà chính là đoạn HC.Mà HC = CD + DH = CD + 7Xét tam giác ACD vuông tại D có $AC=\frac{CD}{\sin {40}^0}$Xét tam giác ABD vuông tại D có $AB=\frac{5+CD}{\sin {50}^0}$Xét tam giác ABC có:$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos \widehat{BAC}\iff \left(\frac{1}{{\sin }^2{50}^0}+\frac{1}{{\sin }^2{40}^0}-\frac{2\cos {10}^0}{\sin {40}^0\sin {50}^0}\right)C{D}^2+\left(\frac{10}{{\sin }^2{50}^0}-\frac{10\cos {10}^0}{\sin {40}^0\sin {50}^0}\right)+\frac{25}{{\sin }^2{50}^0}-25=0\iff CD\approx 11,9\Rightarrow HC\approx 7+11,9\approx 18,9\left(m\right)$Vậy tòa nhà cao 18,9m

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC có a = 5 cm, c = 9 cm, cosC=−110. Tính độ dài đường cao ha hạ từ A của tam giác ABC
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có a = 5 cm, c = 9 cm, $\cos C=-\frac{1}{10}$. Tính độ dài đường cao $h_a$ hạ từ A của tam giác ABC

   A. $h_a=\frac{\sqrt{462}}{40}cm$

   B. $h_a=\frac{\sqrt{462}}{100}cm$

   C. $h_a=\frac{21\sqrt{11}}{40}cm$

   D. $h_a=\frac{21\sqrt{11}}{10}cm$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DÁp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:$c^2=a^2+b^2-2a.b.\cos C\Rightarrow 81=25+b^2-\mathrm{2.5.}b.\left(-\frac{1}{10}\right)\iff b^2+b-56=0\iff \left[\begin{array}{c}b=7\\ b=-8\end{array}\right.$Ta nhận được b = 7 (cm)Diện tích tam giác ABC là  $S_{\Delta ABC}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{\frac{21}{2}\left(\frac{21}{2}-5\right)\left(\frac{21}{2}-7\right)\left(\frac{21}{2}-9\right)}=\frac{21\sqrt{11}}{4}\left(c{m}^2\right)$Độ dài đường cao $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{\frac{21\sqrt{11}}{2}}{5}=\frac{21\sqrt{11}}{10}\left(cm\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M thỏa mãn MO = 3R. Một đường kính AB thay đổi trên đường tròn. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = MA + MB
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M thỏa mãn MO = 3R. Một đường kính AB thay đổi trên đường tròn. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = MA + MB

   A. Min S = 6R

   Đáp án chính xác

   B. Min S = 4R

   C. Min S = 2R

   D. Min S = R

   Trả lời:

   Đáp án AGọi $\widehat{MOA}=\alpha \Rightarrow \widehat{MOB}={180}^0-\alpha$Ta có:$MA=\sqrt{M{O}^2+A{O}^2-2MO.AO.\cos \alpha }=\sqrt{9R^2+R^2-6R^2\cos \alpha }=R\sqrt{10-6\cos \alpha }MB=\sqrt{M{O}^2+B{O}^2-2MO.BO.\cos \left({180}^0-\alpha \right)}=\sqrt{9R^2+R^2+6R^2\cos \alpha }=R\sqrt{10+6\cos \alpha }$Xét $C=\sqrt{10-6\cos \alpha }+\sqrt{10+6\cos \alpha }$$\Rightarrow C^2=20+2\sqrt{100-36{\cos }^2\alpha }\ge 20+2\sqrt{100-36}=36$Suy ra $C\ge 6$. Dấu bằng xảy ra khi ${\cos }^2\alpha =1\iff \left[\begin{array}{c}\cos \alpha =1\\ \cos \alpha =-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\alpha =0^0\\ \alpha ={180}^0\end{array}\right.$Ta có $S=MA+MB=R\left(\sqrt{10-6\cos \alpha }+\sqrt{10+6\cos \alpha }\right)\ge 6R$Suy ra min S = 6R khi và chỉ khi A, O, B, M thẳng hàng

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====