SBT Toán 9 Bài 1: Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

Bài 1 trang 163 SBT Toán 9 tập 2: Diện tích và chu vi của một hình chữ nhật $ABCD(AB>AD)$ theo thứ tự là $2a^2$ và $6a.$ Cho hình chữ nhật quay quanh cạnh $AB$ một vòng, ta được một hình trụ. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ này.
Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xq}=2\pi rh$

– Công thức tính thể tích hình trụ: $V=Sh=\pi r^{2}h$

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao, $S$ là diện tích đáy).

Lời giải:

Theo bài ra ta có: $AB+AD=3a;$ $AB.AD=2a^2$ nên độ dài $AB$ và $AD$ là nghiệm của phương trình:

$x^2-3ax+2a^2=0(AB>AD>0)$

$\mathrm{\Delta }={\left(-3a\right)}^2-\mathrm{4.1.2}{a}^2=9a^2-8a^2$$=a^2>0$ (vì $a>0$)

$\Rightarrow x_1=\frac{3a+a}{2}=2a;$ $x_2=\frac{3a-a}{2}=a$

Vì $AB>AD$ nên $AB=2a;AD=a.$

Diện tích xung quanh hình trụ là:

$S=2\pi rh$$=2\pi .AD.AB=2\pi .a.2a$$=4\pi a^2$ (đơn vị diện tích)

Thể tích của hình trụ là:

$V=\pi r^{2}h$$=\pi .A{D}^2.AB=\pi a^2.2a$$=2\pi a^3$ (đơn vị thể tích).

Bài 2 trang 163 SBT Toán 9 tập 2: Mô hình của một cái lọ thí nghiệm dạng hình trụ (không nắp) có bán kính đường tròn đáy $14cm$, chiều cao $10cm.$ Trong các số sau đây, số nào là diện tích xung quanh cộng với diện tích một đáy?

(Lấy $\pi =\frac{22}{7}$)

(A) $564c{m}^2$;                  (B) $972c{m}^2$;

(C) $1865c{m}^2$;                (D) $2520c{m}^2$; 

(E) $1496c{m}^2$.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xq}=2\pi rh$

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao, $S$ là diện tích đáy).

– Công thức tính diện tích hình tròn: $S=\pi r^2$

($r$ là bán kính đường tròn).

Lời giải:

Diện tích xung quanh lọ là: $S_{xq}=2\pi rh$

$S_{xq}=2.\frac{22}{7}.14.10=880(c{m}^2)$

Diện tích đáy lọ là: $S=\pi r^2$

$S=\frac{22}{7}{.14}^2=616(c{m}^2)$

Diện tích xung quanh cộng với diện tích một đáy là:

$880+616=1496(c{m}^2)$.

Chọn (E).

Bài 3 trang 163 SBT Toán 9 tập 2: Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là $6cm$, chiều cao $9cm$. Hãy tính:

a) Diện tích xung quanh của hình trụ.

b) Thể tích của hình trụ.

(Lấy $\pi \approx 3,142$ làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xq}=2\pi rh$

– Công thức tính thể tích hình trụ: $V=Sh=\pi r^{2}h$

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao, $S$ là diện tích đáy).

Lời giải:

a) Diện tích xung quanh hình trụ là:

$S_{xq}=2\pi rh$

$S_{xq}=2.3,\mathrm{142.6.9}\approx 339(c{m}^2)$

b) Thể tích hình trụ là:

$V=\pi r^{2}h$

$V=3,{142.6}^2.9\approx 1018(c{m}^3)$.

Bài 4 trang 163 SBT Toán 9 tập 2: Đố: đường đi của con kiến. Thành bên trong của một cái lọ thủy tinh dạng hình trụ có một giọt mật cách miệng lọ $3cm$. Bên ngoài thành lọ có một con kiến đậu ở điểm đối diện với giọt mật qua tâm đường tròn (song song với đường tròn đáy – xem hình 88). Hãy chỉ ra đường đi ngắn nhất của con kiến để đến đúng giọt mật, biết rằng chiều cao của cái lọ là $20cm$ và đường kính đường tròn đáy là $10cm$ (lấy $\pi \approx 3,14$).

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Công thức tính chu vi đường tròn: $C=2\pi r=\pi d$

($r$ là bán kính đường tròn, $d$ là đường kính).

Lời giải:

Khai triển hình trụ theo một đường sinh và trải phẳng ra, ta được một hình chữ nhật chiều rộng $20cm$, chiều dài bằng chu vi đáy của cái lọ bằng $10.3,14=31,4(cm).$

Ta cần chú ý đến vị trí con kiến và giọt mật. Ta cho con kiến ở điểm $A$ cách đáy $17cm$, thì giọt mật ở điểm $B$ cũng cách đáy $17cm$ và cách con kiến ở điểm $A$ là nửa chu vi đáy của cái lọ bằng $15,7cm.$

Dựng điểm $C$ đối xứng với $B$ qua đường $xy$, nối $AC$ cắt $xy$ tại $D$. Điểm $D$ là điểm con kiến bò qua.

Vậy đoạn đường $BDA$ là ngắn nhất.

Khi đó quãng đường con kiến cần đi là: $BD+DA=2DA=AC$

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, theo định lý Pi – ta – go ta có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$ $=15,7^2+6^2$ $\Rightarrow AC=\sqrt{15,7^2+6^2}\approx 16,8\left(cm\right)$

Bài 5 trang 164 SBT Toán 9 tập 2: Một cái ống rỗng dạng hình trụ hở một đầu, kín một đầu (độ dày không đáng kể) dài $b$ (cm) và bán kính đường tròn đáy là $r$ (cm). Nếu người ta sơn cả bên ngoài lẫn bên trong ống thì diện tích ống được sơn bao phủ là:

(A) $2(\pi r^2+2\pi rb)c{m}^2$;

(B) $(\pi r^2+2\pi rb)c{m}^2$;

(C) $(2\pi r^2+2\pi rb)c{m}^2$;

(D) $(\pi r^2+4\pi rb)c{m}^2$.

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xq}=2\pi rh$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao).

– Công thức tính diện tích hình tròn: $S=\pi r^2$.

($r$ là bán kính đường tròn).

Lời giải:

Diện tích xung quanh ống hình trụ là: $S_{xq}=2\pi rb(c{m}^2)$

Diện tích đáy của ống hình trụ là: $S=\pi r^2(c{m}^2)$

Diện tích ống được bao phủ bởi lớp sơn bằng hai lần diện tích xung quanh và hai lần diện tích đáy, do đó diện tích ống được sơn bao phủ là:

$2(\pi r^2+2\pi rb)c{m}^2$.

Chọn (A).

 

Bài 6 trang 164 SBT Toán 9 tập 2: Một vật thể có dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy và độ dài của nó đều bằng $2r(cm)$. Người ta khoan một lỗ cũng có  dạng hình trụ như hình $89$, có bán kính đáy và độ sâu đều bằng $r(cm)$.

Thể tích phần vật thể  còn lại (tính theo $c{m}^3$) là:

(A) $4\pi r^3$;                      (B) $7\pi r^3$;

(C) $8\pi r^3$;                      (D) $9\pi r^3$.

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Công thức tính thể tích hình trụ: $V=Sh=\pi r^{2}h$

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao, $S$ là diện tích đáy).

Lời giải:

Thể tích vật thể hình trụ là: $V_1=\pi {\left(2r\right)}^2.2r=8\pi r^3(c{m}^3)$

Thể tích lỗ khoan hình trụ là: $V_2=\pi r^2.r=\pi r^3(c{m}^3)$

Thể tích vật thể còn lại là: $V=V_1-V_2=7\pi r^3(c{m}^3)$.

Chọn (B).

 

Bài 7 trang 164 SBT Toán 9 tập 2: Hình 90 là một mẩu pho mát được cắt ra từ một khối pho mát dạng hình trụ (có các kích thước như trên hình vẽ).

Khối lượng của mẩu pho mát là:

(A) $100g$;                   (B) $100\pi g$;

(C) $800g$;                   (D) $800\pi g$.

(Khối lượng riêng của pho mát là $3g/c{m}^3$).

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Công thức tính thể tích hình trụ: $V=Sh=\pi r^{2}h$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao, $S$ là diện tích đáy).

Lời giải:

Thể tích khối pho mát hình trụ là: $V=\pi .{10}^2.8=800\pi (c{m}^3)$

Thể tích mẩu pho mát bằng $\frac{15}{360}=\frac{1}{24}$ thể tích khối pho mát.

Khối lượng mẩu pho mát là: $\frac{1}{24}.800.3=100\pi (g).$

Chọn (B).

Bài 8 trang 164 SBT Toán 9 tập 2: Diện tích xung quanh của một hình trụ là $10m^2$ và diện tích toàn phần của nó là $14m^2$. Hãy tính bán kính của đường tròn đáy và chiều cao của hình trụ (lấy $\pi \approx 3,14,$ làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xq}=2\pi rh$

– Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ: $S_{tp}=S_{xq}+2S_{đ}=2\pi rh+2\pi r^2$

– Công thức tính diện tích đáy hình trụ: $S_{đ}=\pi r^2$ 

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao).

Lời giải:

Diện tích toàn phần của hình trụ là: $S_{tp}=S_{xq}+2S_{đ}$

Diện tích của một đáy là:

$S_{đ}=\frac{S_{TP}-S_{xq}}{2}=\frac{14-10}{2}$$=2(m^2)$

Diện tích đáy là: $S_{đ}=\pi r^2$ 

$\Rightarrow r^2=\frac{S_{đ}}{\pi }\approx \frac{2}{3,14}\approx 0,64(m^2)$

Suy ra bán kính đáy $r=0,8(m)$

Diện tích xung quanh hình trụ là: $S_{xq}=2\pi rh$.

$\Rightarrow h=\frac{S_{xq}}{2\pi r}=\frac{10}{2.3,14.0,8}$$\approx 1,99(m)$.

Bài 9 trang 165 SBT Toán 9 tập 2: Một cái trục lăn có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là $42cm$, chiều dài trục lăn là $2m$ (h. 91).

Sau khi lăn trọn $10$ vòng thì trục lăn tạo trên sân phẳng một diện tích là:

(A) $26400c{m}^2$;

(B) $58200c{m}^2$;

(C) $528c{m}^2$;

(D) $264000c{m}^2$.

(Lấy $\pi =\frac{22}{7}$).

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng: Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xq}=2\pi rh=\pi dh$.

($r,d$ lần lượt là bán kính, đường kính của đường tròn đáy; $h$ là chiều cao).

Lời giải:

Trục lăn một một vòng nên trên sân phẳng một diện tích bằng diện tích xung quanh của trục.

Đổi $2m=200cm.$

Diện tích xung quanh của trục lăn là:

$S_{xq}=\pi dh=42.\frac{22}{7}.200=26400(c{m}^2)$

Trục lăn $10$ vòng có diện tích là $S=10.S_{xq}=10.26400=264000$$(c{m}^2)$.

Chọn (D)

Bài 10 trang 165 SBT Toán 9 tập 2: Đúng nửa cốc (!)

Một cái cốc hình trụ được đổ đầy sữa. Liệu em có thể rót ra đúng một nửa lượng sữa mà không cần phải sử dụng các công dụng cụ hay không?

Phương pháp giải:

Dùng trực quan và suy luận suy ra đáp án.

Lời giải:

Ta nghiêng cái cốc hình trụ đựng đầy sữa, rót sữa ra vật chứa sữa đến khi sữa trong cốc hình trụ tạo thành góc $AOB$ như hình vẽ thì lượng sữa trong cốc còn đúng một nửa.

Bài 11 trang 165 SBT Toán 9 tập 2: Người ta đổ nước vào một thùng chứa dạng hình trụ, có đường kính đường tròn đáy là $3m$ lên đến độ cao $2\frac{1}{3}m.$ Biết rằng $1c{m}^3$ nước có khối lượng là $1g.$

Trong các số sau đây, số nào là số biểu diễn khối lượng nước đổ vào thùng?

(A) $165$;                          (B) $16500$;

(C) $33000$;                      (D) $66000$.

(Lấy $\pi =\frac{22}{7}$ và kết quả tính theo kilogam).

Phương pháp giải:

Sử dụng: Công thức tính thể tích hình trụ: $V=Sh=\pi r^{2}h$

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao, $S$ là diện tích đáy).

Lời giải:

Ta có: $2\frac{1}{3}m=\frac{7}{3}m$.

Thể tích nước chứa trong thùng hình trụ là:

$V=\frac{22}{7}.{\left(\frac{3}{2}\right)}^2.\frac{7}{3}=16,5m^3$$=16500000(c{m}^3)$.

Khối lượng nước đổ vào thùng là:

$m=16500000.1=16500000(g)$$=16500(kg)$.

Chọn (B).

Bài 12 trang 165 SBT Toán 9 tập 2: Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy $3cm$, chiều cao $4cm$ được đặt đứng trên mặt bàn. Một phần của hình trụ bị cắt rời ra theo các bán kính $OA,$ $OB$ và theo chiều thẳng đứng từ trên xuống dưới với (xem hình 92).

Hãy tính:

a) Thể tích phần còn lại.

b) Diện tích toàn bộ của hình sau khi đã bị cắt.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xq}=2\pi rh$.

– Công thức tính thể tích hình trụ: $V=Sh=\pi r^{2}h$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao, $S$ là diện tích đáy).

Lời giải:

a) Thể tích hình trụ là:

$\begin{array}{l}V=\pi r^2.h\\ V=\pi {.3}^2.4=36\pi (c{m}^3)\end{array}$

Phần hình trụ bị cắt đi bằng  $\frac{{30}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{12}$ (hình trụ)

Phần hình trụ còn lại bằng $1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$ (hình trụ)

Thể tích phần hình trụ còn lại là: $\frac{11}{12}.36\pi =33\pi (c{m}^3)$

b) Phần diện tích xung quanh còn lại (không kể phần lõm): $S=2.\pi .3.4.\frac{11}{12}=22\pi (c{m}^2)$

Phần diện tích còn lại của $2$ đáy là: $\pi {.3}^2.\frac{11}{12}.2=\frac{33\pi }{2}(c{m}^2)$

Diện tích phần lõm là hai hình chữ nhật kích thước $3$ và $4$ là:

$2.(3.4)=24(c{m}^2)$

Diện tích toàn bộ hình sau khi cắt là:

$22\pi +\frac{33\pi }{2}+24=\left(38\frac{1}{2}\pi +24\right)$ $(c{m}^2)$.

Bài 13 trang 166 SBT Toán 9 tập 2: Một vật thể hình học như hình 93.

Phần trên là nửa hình trụ, phần dưới là một hình hộp chữ nhật, với các kích thước cho trên hình vẽ. Thể tích của vật thể hình học này là:

(A) $4340c{m}^3$;                   (B) $4760c{m}^3$;

(C) $5880c{m}^3$;                   (D) $8c{m}^3$.

(Lấy $\pi =\frac{22}{7}$).

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Công thức tính thể tích hình trụ: $V=Sh=\pi r^{2}h$.

($r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao, $S$ là diện tích đáy).

– Công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật: $V=abc$.

($a,b,c$ là ba kích thước của hình hộp chữ nhật).

Lời giải:

Vật thể gồm một hình hộp chữ nhật và một nửa hình trụ.

Thể tích hình hộp chữ nhật là:  $V_1=10.14.20=2800(c{m}^3)$

Nửa hình trụ có bán kính đáy là $\frac{14}{2}=7cm$ và chiều cao là $20cm$

Nên thể tích nửa hình trụ là: $V_2=\left(\frac{22}{7}.7^2.20\right):2$$=1540(c{m}^3)$

Thể tích của vật thể là: $V=V_1+V_2=2800+1540$$=4340(c{m}^3)$

Chọn (A).