Giải SGK Toán 8 Bài 1 (Cánh diều): Định lí Pythagore

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 1: Định lí Pythagore

Khởi động trang 94 Toán 8 Tập 1: Quan sát Hình 1, bạn Đan khẳng định rằng: Diện tích của hình vuông lớn nhất bằng tổng diện tích của hai hình vuông còn lại.

Bạn Đan đã dựa vào kiến thức nào để đưa ra khẳng định trên?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Bạn Đan đã dựa vào Định lí Pythagore để đưa ra khẳng định “Diện tích của hình vuông lớn nhất bằng tổng diện tích của hai hình vuông còn lại”.

Thật vậy, giả sử A, B, C là ba đỉnh của tam giác (vuông tại A) và độ dài cạnh của các hình vuông lần lượt là a, b, c (hình vẽ).

Diện tích hình vuông nhỏ màu xanh lá cây là: a² (đơn vị diện tích).

Diện tích hình vuông nhỏ màu xanh nước biển là: b² (đơn vị diện tích).

Diện tích hình vuông lớn màu tím là: c² (đơn vị diện tích).

Do tam giác ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore ta có BC² = AB² + AC²

Hay c² = a² + b².

Vậy diện tích của hình vuông lớn nhất bằng tổng diện tích của hai hình vuông còn lại.

I. Định lí Pythagore

Hoạt động 1 trang 94, 95 Toán 8 Tập 1: Thực hiện các hoạt động sau:

a) Vẽ và cắt giấy để có 4 hình tam giác vuông như nhau với độ dài cạnh huyền là a, độ dài hai cạnh góc vuông là b và c, trong đó a, b, c có cùng đơn vị độ dài (Hình 2).

b) Vẽ hình vuông ABCD có cạnh là b + c như Hình 3. Đặt 4 hình tam giác vuông đã cắt ở câu a lên hình vuông ABCD vừa vẽ, phần chưa bị che đi là hình vuông MNPQ với độ dài cạnh là a (Hình 4).

c) Gọi S₁ là diện tích của hình vuông ABCD. Gọi S₂ là tổng diện tích của hình vuông MNPQ và diện tích của 4 tam giác vuông AQM, BMN, CNP, DPQ. So sánh S₁ và S₂.

d) Dựa vào kết quả ở câu c, dự đoán mối liên hệ giữa a² và b² + c².

Lời giải:

a) Học sinh thực hiện theo hướng dẫn.

b) Học sinh thực hiện theo hướng dẫn.

c) Diện tích của hình vuông ABCD là: S₁ = (b + c)² (đơn vị diện tích).

Diện tích của hình vuông MNPQ là: a² (đơn vị diện tích).

Diện tích của tam giác vuông AQM là: $\frac{1}{2}bc$ (đơn vị diện tích).

Tổng diện tích của 4 tam giác vuông AQM, BMN, CNP, DPQ là:

$4.\frac{1}{2}bc=2bc$ (đơn vị diện tích).

Khi đó ta có: S₂ = a² + 2bc (đơn vị diện tích).

d) Theo câu b, ta có: diện tích của hình vuông ABCD bằng tổng diện tích của hình vuông MNPQ và diện tích của 4 tam giác vuông AQM, BMN, CNP, DPQ, hay S₁ = S₂

Do đó (b + c)² = a² + 2bc

Hay b² + 2bc + c² = a² + 2bc

Suy ra b² + c² = a².

Vậy a² = b² + c².

Luyện tập 1 trang 95 Toán 8 Tập 1: Tính độ dài đường chéo của hình vuông có độ dài cạnh là a.

Lời giải:

Do tam giác ABC vuông tại B nên theo định lí Pythagore ta có:

AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a²

Suy ra $AC=\sqrt{2a^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2.a^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}.a\right)}^2}=a\sqrt{2}$.

Vậy độ dài đường chéo của hình vuông đó là $a\sqrt{2}$.

II. Định lí Pythagore đảo

Hoạt động 2 trang 95 Toán 8 Tập 1: Thực hiện các hoạt động sau:

a) Vẽ một tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm và BC = 5 cm;

b) Tính và so sánh diện tích của hình vuông có cạnh BC với tổng diện tích của hai hình vuông tương ứng có cạnh AB và AC (Hình 6);

c) Kiểm tra xem góc A của tam giác ABC có phải là góc vuông hay không.

Lời giải:

a) Vẽ tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm và BC = 5 cm.

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AC = 4 cm.

Bước 2. Vẽ cung tròn tâm A bán kính 3 cm.

Bước 3. Vẽ cung tròn tâm C bán kính 5 cm.

Bước 4. Hai cung tròn trên cắt nhau tại hai điểm. Lấy 1 trong 2 giao điểm đó, kí hiệu là điểm B.

Nối các đoạn thẳng BA, BC ta được tam giác ABC như yêu cầu.

b) Diện tích của hình vuông có cạnh AB = 3 cm là: 3² = 9 (cm²).

Diện tích của hình vuông có cạnh AC = 4 cm là: 4² = 16 (cm²).

Tổng diện tích của hai hình vuông trên là: 9 + 16 = 25 (cm²).

Diện tích của hình vuông có cạnh BC = 5 cm là: 5² = 25 (cm²).

Vậy diện tích của hình vuông có cạnh BC bằng tổng diện tích của hai hình vuông tương ứng có cạnh AB và AC.

c) Dùng thước êke (hoặc thước đo góc) ta xác định được góc A của tam giác ABC là góc vuông.

Luyện tập 2 trang 96 Toán 8 Tập 1: Tam giác có ba cạnh là 20 cm, 21 cm, 29 cm có phải là tam giác vuông hay không?

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có AB = 20 cm, AC = 21 cm và BC = 29 cm.

Xét tam giác ABC có:

AB² + AC² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841 (cm²) và BC² = 29² = 841 (cm²).

Suy ra AB² + AC² = BC².

Do đó tam giác ABC vuông tại A (theo định lí Pythagore đảo).

Vậy tam giác có ba cạnh là 20 cm, 21 cm, 29 cm là tam giác vuông.

Bài tập

Bài 1 trang 96 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm độ dài cạnh còn lại trong mỗi trường hợp sau:

a) AB = 8 cm, BC = 17 cm;

b) AB = 20 cm, AC = 21 cm;

c) AB = AC = 6 cm.

Lời giải:

Do tam giác ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore ta có:

BC² = AB² + AC²      (1)

a) Từ (1) suy ra AC² = BC² – AB² = 17² – 8² = 289 – 64 = 225 = 15²

Do đó AC = 15 (cm).

b) Từ (1) suy ra BC² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841 = 29²

Do đó BC = 29 (cm).

c) Từ (1) suy ra BC² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72

Do đó >$BC=\sqrt{72}=\sqrt{36.2}=\sqrt{6^2.{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{{\left(6\sqrt{2}\right)}^2}=6\sqrt{2}\left(cm\right)$.

Bài 2 trang 96 Toán 8 Tập 1: Tìm giác có độ dài ba cạnh trong mỗi trường hợp sau có phải là tam giác vuông hay không?

a) 12 cm, 35 cm, 37 cm;

b) 10 cm, 7 cm, 8 cm;

c) 11 cm, 6 cm, 7 cm.

Lời giải:

a) Ta có: 12² + 35² = 144 + 1 225 = 1 369 và 37² = 1 369.

Suy ra 12² + 35² = 37²

Do đó theo định lí Pythagore đảo, tam giác có độ dài ba cạnh 12 cm, 35 cm, 37 cm là tam giác vuông.

b) Ta có: 7² + 8² = 49 + 64 = 113 và 10² = 100.

Suy ra 7² + 8² ≠ 10².

Do đó tam giác có độ dài ba cạnh 10 cm, 7 cm, 8 cm không phải là tam giác vuông.

c) Ta có: 6² + 7² = 36 + 49 = 85 và 11² = 121.

Suy ra 6² + 7² ≠ 11².

Do đó tam giác có độ dài ba cạnh 11 cm, 6 cm, 7 cm không phải là tam giác vuông.

Bài 3 trang 97 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng 1 dm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác đó.

Lời giải:

Do tam giác đã cho là tam giác vuông cân nên độ dài hai cạnh góc vuông cùng bằng 1 dm

Khi đó theo định lí Pythagore, độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân đó là:

$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\left(dm\right)$.

Bài 4 trang 97 Toán 8 Tập 1: Cho một tam giác đều cạnh a.

a) Tính độ dài đường cao của tam giác đó theo a.

b) Tính diện tích của tam giác đó theo a.

Lời giải:

Giả sử ABC là tam giác đều cạnh a (hình vẽ).

a) Vẽ đường cao AH của tam giác đều ABC.

Khi đó H là trung điểm của BC nên HB = HC = $\frac{1}{2}a$.

Xét tam giác AHC vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

AC² = AH² + HC²

Suy ra AH² = AC² – HC²

                   $=a^2-{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=a^2-\frac{1}{4}{a}^2=\frac{3}{4}{a}^2={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2.a^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2$ 

Do đó $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

b) Diện tích của tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AH.BC=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (đơn vị diện tích).

Bài 5 trang 97 Toán 8 Tập 1: Hình 9 mô tả một thanh gỗ dài 3,5 m dựa vào một bức tường thẳng đứng. Chân thanh gỗ cách mép tường một khoảng là 2,1 m. Khoảng cách từ điểm thanh gỗ chạm vào tường đến mặt đất là bao nhiêu mét?

Lời giải:

Do bức tường vuông góc với mặt đất nên thanh gỗ dựa vào tường tạo thành một tam giác vuông ABC được mô tả như hình vẽ dưới đây.

Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:

AB² = AC² + BC²

Suy ra BC² = AB² – AC² = 3,5² – 2,1² = 12,25 – 4,41 = 7,84 = 2,8²

Do đó BC = 2,8 m.

Vậy khoảng cách từ điểm thanh gỗ chạm vào tường đến mặt đất là 2,8 mét.

Bài 6 trang 97 Toán 8 Tập 1: Hình 10 mô tả mặt cắt đứng của một sân khấu ngoài trời có mái che. Chiều cao của khung phía trước khoảng 7 m, chiều cao của khung phía sau là 6 m, hai khung cách nhau một khoảng là 5 m. Chiều dài của mái che sân khấu đó là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải:

Mặt cắt đứng của sân khấu ngoài trời có mái che ở Hình 10 được mô tả như hình vẽ dưới đây.

Ta có: AB = BH – AH = BH – CK = 7 – 6 = 1 (m).

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

BC² = AB² + AC² = 1² + 5² = 1 + 25 = 26.

Suy ra $BC=\sqrt{26}=\mathrm{5,099019514\dots }\approx \mathrm{5,10}\left(m\right)$.

Vậy chiều dài của mái che sân khấu đó khoảng 5,10 mét.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Chủ đề 2: Thực hành tạo dựng Hologram

Bài 1: Định lí Pythagore

Bài 2: Tứ giác

Bài 3: Hình thang cân

Bài 4: Hình bình hành