Sách bài tập Toán 7 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Tam giác cân

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 3: Tam giác cân

Giải trang 49 Tập 2

Bài 1 trang 49 Tập 2: Cho tam giác MNP cân tại M. Kể tên các cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của tam giác cân đó.

Lời giải:

Tam giác MNP cân tại M có: các cạnh bên là MN và MP; cạnh đáy là NP; góc ở đỉnh là $\hat{M}$; góc ở đáy là $\hat{N}$ và $\hat{P}$.

Bài 2 trang 49 Tập 2: a) Tam giác có hai góc bằng 60° có phải là tam giác cân hay không? Hãy tìm góc còn lại của tam giác này.

b) Tam giác có hai góc bằng 45° có phải là tam giác cân hay không? Hãy tìm góc còn lại của tam giác này.

Lời giải:

a) Giả sử tam giác ABC có $\hat{B}=\hat{C}=60°$ như hình vẽ dưới đây:

Xét ∆ABC có: $\stackrel{︿}{\text{A}}+\stackrel{︿}{\text{B}}+\stackrel{︿}{\text{C}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\hat{A}=180°-\hat{C}-\hat{B}$

Do đó $\stackrel{︿}{\text{A}}=180°-60°-60°=60°$

Tam giác ABC có $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=60°$ nên là tam giác đều.

Vậy tam giác có hai góc bằng 60° thì góc còn lại là 60°. Tam giác này vừa là tam giác đều vừa là tam giác cân tại cả ba đỉnh.

b) Giả sử tam giác MNP có $\hat{N}=\hat{P}=45°$ như hình vẽ dưới đây.

Tam giác MNP có $\hat{N}=\hat{P}=45°$ nên là tam giác cân tại M.

Xét DMNP có: $\stackrel{︿}{M}+\stackrel{︿}{N}+\stackrel{︿}{P}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\hat{M}=180°-\hat{N}-\hat{P}$

Do đó $\stackrel{︿}{M}=180°-45°-45°=90°$

Tam giác MNP cân tại M có $\hat{M}=90°$ nên là vừa là tam giác cân vừa là tam giác vuông.

Vậy tam giác có hai góc bằng 45°thì góc còn lại là 90°. Tam giác này là tam giác vuông cân.

Bài 3 trang 49 Tập 2: Trong Hình 6, tính góc B và góc C biết $\hat{A}=138°.$

Lời giải:

Vì ∆ABC có AB = AC (giả thiết) nên ∆ABC cân tại A.

Suy ra $\stackrel{︿}{\text{C}}=\stackrel{︿}{\text{B}}$ (tính chất tam giác cân).

Xét ∆ABC có: $\stackrel{︿}{\text{A}}+\stackrel{︿}{\text{B}}+\stackrel{︿}{\text{C}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra

$\hat{B}=\hat{C}=\frac{180°-\hat{A}}{2}=\frac{180°-138°}{2}=21°$.

Vậy $\stackrel{︿}{\text{C}}=\stackrel{︿}{\text{B}}=21°.$

Bài 4 trang 49 Tập 2: Cho Hình 7, biết AB = AC và BE là tia phân giác của $\widehat{ABC}$; CF là tia phân giác của $\widehat{ACB}$. Chứng minh rằng:

a) ΔABE = ΔACF;

b) Tam giác OEF cân.

Lời giải:

Chứng minh (Hình 7):

a) Vì AB = AC (giả thiết) nên tam giác ABC cân tại A.

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất) (1)

Ta có BE là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ (giả thiết)

Nên $\widehat{ABE}=\widehat{EBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ (tính chất tia phân giác) (2)

Lại có CF là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ (giả thiết)

Nên $\widehat{ACF}=\widehat{FCB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ (tính chất tia phân giác) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra $\widehat{ACF}=\widehat{FCB}=\widehat{ABE}=\widehat{EBC}$.

Xét ΔABE và ΔACF có:

$\hat{A}$ là góc chung,

AB = BC (giả thiết),

$\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$ (chứng minh trên).

Do đó ΔABE = ΔACF (g.c.g).

Vậy ΔABE = ΔACF.

b) Vì ΔABE = ΔACF (chứng minh câu a).

Nên BE = CF (hai cạnh tương ứng).

Xét ΔOBC có $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$ (do $\widehat{EBC}=\widehat{FCB}$)

Do đó ΔOBC cân tại O.

Suy ra OB = OC (tính chất tam giác cân).

Ta có: BE = OB + OE, CF = OC + OF.

Mà BE = CF, OB = OC (chứng minh trên).

Suy ra OE = OF

Do đó ΔOEF cân tại O.

Vậy tam giác OEF cân tại O.

Bài 5 trang 49 Tập 2: Cho tam giác MEF cân tại M có $\hat{M}=80°$.

a) Tính $\hat{E},\hat{F}.$

b) Gọi N, P lần lượt là trung điểm của ME, MF. Chứng minh rằng tam giác MNP cân.

c) Chứng minh rằng NP // EF

Lời giải:

a) Vì ∆MFE cân tại M (giả thiết).

Nên $\stackrel{︿}{E}=\stackrel{︿}{F}$ (tính chất tam giác cân).

Xét DMEF có: $\stackrel{︿}{M}+\stackrel{︿}{E}+\stackrel{︿}{F}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra

$\hat{E}=\hat{F}=\frac{180°-\hat{M}}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$.

Vậy $\stackrel{︿}{E}=\stackrel{︿}{F}=50°.$

b) Vì ∆MEF cân tại M (giả thiết) nên ME = MF (1)

Vì N là trung điểm của ME nên $MN=NE=\frac{ME}{2}$ (2)

Vì P là trung điểm của MF nên $MP=PF=\frac{MF}{2}$ (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra MN = NE = MP = PE.

Tam giác MNP có MN = MP (chứng minh trên)

Do đó tam giác MNP cân tại M.

Vậy tam giác MNP cân tại M.

c) Vì tam giác MNP cân tại M (chứng minh câu b).

Nên $\widehat{MNP}=\widehat{MPN}$ (tính chất tam giác cân)

Xét ∆MNP có: $\hat{M}+\widehat{MNP}+\widehat{MPN}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra

$\widehat{MNP}=\widehat{MPN}=\frac{180°-\hat{M}}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$.

Ta có $\widehat{MNP}=\hat{E}$ (cùng bằng 50°).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Suy ra NP // EF

Vậy NP // EF.

Giải trang 50 Tập 2

Bài 6 trang 50 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại N, tia phân giác của góc C cắt AB tại M. Gọi O là giao điểm của BN và CM.

a) Tính số đo các góc OBC, OCB.

b) Chứng minh rằng tam giác OBC cân.

c) Tính số đo góc BOC.

Lời giải:

a) Vì ∆ABC vuông cân tại A (giả thiết)

Nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45°$

Vì BN là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ (giả thiết)

Nên

$\widehat{ABN}=\widehat{NBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=\frac{45°}{2}=22,5°$

Hay $\widehat{OBC}=22,5°$

Vì CM là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ (giả thiết)

Nên

$\widehat{ACM}=\widehat{MCB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\frac{45°}{2}=22,5°$

Hay $\widehat{OCB}=22,5°$

Vậy $\widehat{OBC}=22,5°;\widehat{OCB}=22,5°.$

b) Xét ∆OBC có $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$ (cùng bằng 22,5°).

Nên tam giác OBC cân tại O.

Vậy tam giác OBC cân tại O.

c) Xét ∆OBC có: $\widehat{OBC}+\widehat{OCB}+\widehat{BOC}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Nên $\widehat{BOC}=180°-\widehat{OBC}-\widehat{OCB}$

Suy ra $\widehat{BOC}=180°-22,5°-22,5°=135°$

Vậy $\widehat{BOC}=135°.$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2 : Tam giác bằng nhau

Bài 3 : Tam giác cân

Bài 4 : Đường vuông góc và đường xiên

Bài 5 : Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 6 : Tính chất ba đường trung trực của tam giác