50 Bài tập Lôgarit (có đáp án)- Toán 12

Bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 3: Lôgarit

A. Bài tập Lôgarit

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức

A. -2    

B. 2    

C. -3log_a5    

D. 3log_a5

Lời giải:

Bài 2: 10log7 bằng:

A. 1   

B. log₇10   

C. 7   

D. log7

Lời giải:

Sử dụng công thức alog_ab

⇒ 10log7 = 7

Bài 3: Cho P = log₃(a²b³) (a,b là các số dương). Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. P = 6log₃a.log₃b   

B. P = 2log₃a + 3log₃b

C. P = _{($\frac{1}{2}$)}log₃a + ($\frac{1}{3}$)log₃b    

D. P = (log₃a)².(log₃b)³

Lời giải:

P = log₃a² + log₃b³ = 2log₃a + 3log₃b

Bài 4: Đặt a = log₂7, b = log₂3. Tính log₂($\frac{56}{9}$) theo a và b

A. P = 3 + a – 2b    

B. P = 3 + a – b²   

C. P = $\frac{3a}{2b}$   

D. $\frac{3a}{b^2}$

Lời giải:

P = log₂56 – log₂9

= log₂(8.7) – log₂32

 = log₂23 + log₂7 – 2log₂3

= 3 + log₂7 – 2log₂3

= 3 + a – 2b

Bài 5: Biết y = 2³x. Hãy biểu thị x theo y

Lời giải:

y = 2³x ⇔ 3x = log₂y ⇔ x = ($\frac{1}{3}$)log₂y

Bài 6: Biết 3 + 2log₂x = log₂y . Hãy biểu thị y theo x

A. y = 2x+3    

B. y = 8x²    

C. y = x²+8    

D. y = 3x²

Lời giải:

3 + 2log₂x = log₂y ⇔ log₂23 + log₂x2 = log₂y

Bài 7: Nếu x = (log₈2)log₂8 thì log₃x bằng:

A. -3    

B. –$\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{3}$   

D. 3

Lời giải:

x = (log₈2)log₂8 = (log₂32)log₂23 = ($\frac{1}{3}$)³ = 3-3 => log₃x = -3

Bài 8: Độ pH của một chất được xác định bởi công thức pH = -log[H+] trong đó [H+] là nồng độ ion hyđrô trong chất đó tính theo mol/lít (mol/L). Xác định nồng độ ion H+ của một chất biết rằng độ pH của nó là 2,44

A. 1,1.108 mol/L    

C. 3,6.10-3 mol/L

B. 3,2.10-4 mol/L    

D. 3,7.10-3 mol/L

Lời giải:

pH = -log[H+]

=> [H+] = 10-pH = 10-2,44 ≈ 0,00363 ≈ 3,6.10-3 (mol/L).

Chọn đáp án C

Bài 9: Rút gọn biểu thức

Lời giải:

Ta có

P = loga – logb + logb – logc + logc – logd – (loga + logy – logd – logx)

= -logy + logx = log($\frac{x}{y}$)

Chọn đáp án B.

Bài 10: Tính giá trị biểu thức

A. 0,01   

B. 0,1    

C. 1   

D. 10

Lời giải:

Biểu thức đã cho bằng

log100!2 + log100!3 + log100!4 + … + log100!100 = log100!(2.3.4….10) = log100!100! = 1

Chọn đáp án C

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Đặt a = log₂3, b = log₃5. Hãy tính biểu thức P = log₆60 theo a và b

Lời giải:

Bài 2:

Lời giải:

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức log₃100 – log₃18 – log₃50

Lời giải:

log₃100 – log₃18 – log₃50

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức (log₂3)(log₉4)

Lời giải:

(log₂3)(log₉4) = (log₂3) = (log₃222) = (log₂3)(log₃2) = 1

Bài 5: Khối lượng m của một chất phóng xạ thay đổi theo thời gian t tuân theo công thức

trong đó m₀ là khối lượng chất phóng xạ ban đầu, T là chu kì bán rã. Nếu viết phương trình này dưới dạng m = m₀e-kt thì :

Lời giải:

Bài 6: Đặt log₈3 = p và log_nx = 3log_mx . Hãy biểu thị log5 theo p và q

Lời giải:

Bài 7: Cho m, n > 1 và log_nx = 3log_mx với mọi x > 0. Hãy biểu thị m theo n

Lời giải:

Bài 8: Biết rằng 4a = 5, 5b = 6, 6c = 7, 7d = 8. Tính abcd

Lời giải:

Từ giả thiết ta có: a = log₄5, b = log₅6, c = log₆7, d = log₇8

=> abcd = log₄5.log₅6.log₆7.log₇8 = log₄6log₆7log₇8 = log₄7.log₇8 = log₄8 = log₂223 = ($\frac{3}{2}$)log₂2 = $\frac{3}{2}$

Bài 9: Cho b > 1, sinx > 0, cosx > 0 và log_bsinx = a. Khi đó log_bcosx bằng

Lời giải:

Bài 10: Biết rằng log₃y = ($\frac{1}{2}$)log₃u + log₃v + 1. Hãy biểu thị y theo u và v

Lời giải:

log₃y = ($\frac{1}{2}$)log₃u + log₃v + 1 <=> log₃y = log₃u$\frac{1}{2}$+ log₃v + log₃3 = log₃($\sqrt{u}$.v.3) => y = 3$\sqrt{u}$.v

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Tìm số k sao cho 2^x = e^kx với mọi số thực x

Bài 2 Độ pH của một chất được xác định bởi công thức pH = -log[H⁺] trong đó H⁺ là nồng độ ion hyđrô trong chất đó tính theo mol/lít (mol/L). Xác định nồng độ ion H⁺ của một chất biết rằng độ pH của nó là 8,06

Bài 3 log₁₂5 bằng?

Bài 4 Cho a, b, c là các số dương. Tính giá trị của biểu thức log_ab².log_bc².log_ca²

Bài 5 Nếu a = log8225 và b = log215 thì giữa a và b có hệ thức

Bài 6 Biết 3 + 2log₂x = log₂y . Hãy biểu thị y theo x

Bài 7 Tính giá trị biểu thức

Bài 8 Đặt a = log₂3, b = log₃5. Hãy tính biểu thức P = log₆60 theo a và b

Bài 9 Tính giá trị của biểu thức log₃100 – log₃18 – log₃50

Bài 10 Tính giá trị của biểu thức (log₂3)(log₉4)

B. Lý thuyết Lôgarit

I. Khái niệm về lôgarit

1. Định nghĩa

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab.

$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$

Ví dụ 1.

a) log₃ 27 = 3 vì 3³ = 27.

b) $\log {}_4\left(\frac{1}{16}\right)=-2$ vì $4^{-2}=\frac{1}{16}$.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

2. Tính chất

Cho hai số dương a và b; a ≠ 1. Ta có các tính chất sau đây:

log_a1 = 0; log_aa = 1

$a^{{\log }_{a}b}=b;\log {}_a\left(a^{\alpha }\right)=\alpha$

Ví dụ 2.

$4^{-2{\log }_{4}3}={\left(4^{{\log }_{4}3}\right)}^{-2}$$=3^{-2}=\frac{1}{9}$

$\log {}_3\left(\frac{1}{27}\right)$$={\log }_3\left(3^{-3}\right)=-3$

II. Quy tắc tính logarit

1. Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a(b_1.b)2={\log }_a{b}_1+{\log }_{a}b2$

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ 3.

${\log }_{2}12+\text{\hspace{0.17em}}{\log }_2\frac{1}{3}={\log }_2\left(12.\frac{1}{3}\right)={\log }_{2}4=2$

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

 2. Logarit của một thương

– Định lí 2. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a\frac{b_1}{b_2}={\log }_a{b}_1-{\log }_{a}b2$

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Đặc biệt: ${\log }_a\frac{1}{b}=-{\log }_{a}b$( a > 0; b > 0; a ≠ 1)

– Ví dụ 4.

$\log 575-{\log }_{5}3={\log }_5\frac{75}{3}={\log }_{5}25=2$

3. Logarit của một lũy thừa.

– Định lí 3. Cho hai số dương a; b và a ≠ 1 . Với mọi số α, ta có:

${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

– Đặc biệt: ${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

– Ví dụ 5.

$\begin{array}{l}\log {}_7{3}^6=6{\log }_{7}3\\ {\log }_3\sqrt[5]{4}=\frac{1}{5}{\log }_{3}4\end{array}$

III. Đổi cơ số.

– Định lí 4. Cho ba số dương a; b; c với a ≠ 1; c ≠ 1, ta có:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

– Đặc biệt:

$\begin{array}{l}{\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}(\text{}b\ne 1)\\ {\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b(\alpha \ne 0)\end{array}$

Ví dụ 6. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $5^{{\log }_{\frac{1}{125}}8}$

b) ${\log }_{2}3.{\log }_{3}4.\mathrm{\dots .}{\log }_{7}8$

Lời giải:

IV. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên.

1. Logarit thập phân

Logarit thập phân là logarit cơ số 10.

log₁₀b thường được viết là logb hoặc lgb.

2. Logarit tự nhiên

 – Logarit tự nhiên là logarit cơ số e.

log_eb được viết là lnb.