50 Bài tập Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit (có đáp án)- Toán 12

Bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

A. Bài tập Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Giải bất phương trình

A. x < -6 hoặc x > 2    

C. x < -2 hoặc x > 6

B. -6 < x < 2    

D. -2 < x < 6

Lời giải:

($\frac{1}{3}$)x² – 4x + 12 > 1

⇔ x² – 2x – 12 < 0 (vì ($\frac{1}{3}$) < 1)

⇔ -2 < x < 6

Bài 2: Giải bất phương trình 2.4x + 1 < 16^2x

A. x > 1    

B. x < 1   

C. x > $\frac{1}{2}$    

D. x < $\frac{1}{2}$

Lời giải:

Bài 3: Giải bất phương trình 2x.3x ≤ 3⁶

A. x ≤ 2    

B. x ≤ 3    

C. x ≤ 6    

D. x ≤ 4

Lời giải:

2x.3x ≤ 3⁶ ⇔ 6x ≤ 6² ⇔ x ≤ 2

Bài 4: Giải bất phương trình 7.3x + 1 + 5x + 3 ≤ 3x + 4 + 5x + 2

A. x ≤ -1   

B. x ≥ -1    

C. x ≤ 0    

D. x ≥ 0

Lời giải:

Bài 5: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

A. (-1; 1)   

C. (-∞; -1) ∪ (-1; 1)

B. (-1; -1) ∪ (1; +∞)    

D. (-∞; -2) ∪ (1; +∞)

Lời giải:

Nhận thấy ($\sqrt{5}$ + 2)($\sqrt{5}$ – 2) = 1 hay $\sqrt{5}$ – 2 = ($\sqrt{5}$ + 2)-1 nên bất phương trình đã cho tương đương với

Tập nghiệm là (-2; -1) ∪ (1; +∞)

Bài 6: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

A. (-∞; -1) ∪ (7; +∞)   

B. (-1; 7)

C. (7; +∞)

D. (-7; 1)

Lời giải:

⇔ 6x + 10 – x² > 3 ⇔ x² – 6x – 7 < 0 ⇔ -1 < x < 7.

Chọn đáp án C

Bài 7: Giải bất phương trình

Lời giải:

Nhận xét rằng (7 + 4$\sqrt{3}$)(7 – 4$\sqrt{3}$) = 1 hay 7 – 4$\sqrt{3}$ = (7 + 4$\sqrt{3}$)-1

Do đó bất phương trình đã cho tương đương với

Chọn đáp án A.

Bài 8: Giải bất phương trình 3^{2x – 1} < 11^{3 – x}

Lời giải:

Lấy lôgarit theo cơ số 3 hai vế của bất phương trình , ta được :

Chọn đáp án D.

Bài 9: Giải bất phương trình 2016x + 2016^{1 – x} ≤ 2017

A. 1 ≤ x ≤ 2016   

C. x ≤ 1 hoặc x ≥ 2016

B. 0 ≤ x ≤ 1    

D. x ≤ 0 hoặc x ≥ 1

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B

Bài 10: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log$\frac{1}{5}$(x² + 4x) ≥ -1

A. ∅    

B. [-5; 1]   

C. (-∞; -5] ∪ [1; +∞)

D. [-5; -4) ∪ (0; 1]

Lời giải:

Bất phương trình đã cho tương đương với

Chọn đáp án D.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình log(x – 21) < 2 – logx

Lời giải:

Điều kiện x > 21. Khi đó:

log(x – 21) < 2 – logx ⇔ log(x – 21) + logx < 2

⇒ log[x(x – 21)] < 2 ⇒ x(x – 21) < 10²

⇔ x² – 21x – 100 < 0

⇔ -4 < x < 25

Kết hợp điều kiện x > 21, ta được 21 < x < 25.

Nhận xét. Nhiều bài toán quen thuộc như tìm miền xác định của hàm số, xét tính đơn điệu, cực trị,… có thể dẫn đến việc phải giải các bất phương trình mũ, lôgarit. Dưới đây là một số ví dụ.

Bài 2: Tìm miền xác định của hàm số

Lời giải:

Hàm số xác định khi

Bài 3: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = x²lnx

Lời giải:

Tập xác định: D = (0; +∞)

y’ = 2xlnx + x².$\frac{1}{x}$ = x(2lns + 1).

Ta thấy:

y’ > 0 ⇔ x(2lnx + 1) > 0 ⇔ 2lnx + 1 > 0 (vì x > 0)

Từ đó khoảng đồng biến của hàm số là

Bài 4: Một tàu vũ trụ được cung cấp bởi một nguồn điện đồng vị phóng xạ plutoni-238. Công suất đầu ra của nguồn điện này được ước lượng bởi

trong đó t là số năm kể từ khi con tàu hoạt động. Biết rằng để các thiết bị trên tàu hoạt động bình thường, nguồn cần cung cấp công suất tối thiểu là 600W. Hỏi con tàu đủ điện để các thiết bị hoạt động bình thường trong thời gian bao lâu ?

Lời giải:

Con tàu hoạt động bình thường khi

 

Bài 5: Dân số Việt Nam năm 2015 là 91,71 triệu người. Giả sử trong 5 năm tỉ lệ tăng dân số là không đổi. Hỏi tỉ lệ này có thể nhận giá trị tối đa là bao nhiêu để dân số Việt Nam năm 2020 không vượt quá 96,5 triệu người (làm tròn kết quả đến phần chục nghìn) ?

Lời giải:

Giả sử tỉ lệ tăng dân số trong 5 năm đó từ 2015 đến 2020 là k không đổi. Điều kiện của đầu bài là :

91,71.e^5k ≤ 96,5

Vậy tỉ lệ tăng dân số tối đa là 1,02%.

Bài 6: Giá trị của một chiếc xe ô tô sau t năm được ước lượng bằng công thức G(t) = 600e-0,12t (triệu đồng). Để bán lại xe với giá trừ 200 triệu đến 300 triệu đồng, người chủ phải bán trong khoảng thời gian nào kể từ khi mua (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của năm)?

Lời giải:

Yêu cầu đề bài : 200 ≤ 600e-0,12t ≤ 300

Bài 7: Giải bất phương trình

Lời giải:

Bài 8: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

Lời giải:

Bài 9: Miền xác định của hàm số y = log₂₀₀₄(log₂₀₀₃(log₂₀₀₂(log₂₀₀₁x))) là khoảng (c; +∞) . Xác định giá trị của c.

Lời giải:

Bài 10: Có bao nhiêu số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện (130n)50 > n¹⁰⁰ > 2200 ?

Lời giải:

Lấy căn bậc 50 mỗi vế của bất phương trình ta nhận được

Từ đó có 125 số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện đã cho

Bài 11: Giải bất phương trình 54x – 6 > 33x – 4

Lời giải:

Lấy lôgarit theo cơ số 5 hai vế của bất phương trình, ta được :

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Giải bất phương trình log₅(2x – 4) < log₅(x + 3)

Bài 2 Giải bất phương trình ln(x^x – 2x – 2) < 0

Bài 3 Giải bất phương trình 

Bài 4 Giải bất phương trình logx + log(x + 9) > 11

Bài 5 Giải bất phương trình 3log₂(x² – 3x + 2) > 3

Bài 6 Tìm miền xác định của hàm số y = ln(lnx)

Bài 7 Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = xlnx

Bài 8 Một vệ tinh cần một nguồn điện có công suất 7W (oát) để hoạt động hết công năng. Nó được cung cấp bởi một nguồn điện đồng vị phóng xạ có công suất đầu ra P xác định bởi công thức

Bài 9 Giải bất phương trình 2x.3x ≤ 36

Bài 10 Giải bất phương trình  

B. Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

I. Bất phương trình mũ.

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x > b ( hoặc a^x < b; $a^x\ge b; a^x\le b$) với a > 0 và a ≠ 1.

Ta xét bất phương trình a^x > b

+ Nếu b ≤ 0 tập nghiệm của bất phương trình là  vì a^x > 0$\ge b;\forall x\in ℝ$

+ Nếu b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình tương đương $a^x>a^{{\log }_{a}b}$.

Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là x > log_ab.

Với 0 <  a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là x < log_ab.

– Ví dụ 1.

a) 5^x  >  125$\iff$x > log₅125$\iff$x >  3.

b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>27$$\iff x<{\log }_{\frac{1}{3}}27$$\iff x<-3$

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình a^x > b được cho trong bảng sau:

2. Bất phương trình mũ đơn giản

– Ví dụ 2. Giải bất phương trình 3^{x + 2} < 27.

Lời giải:

Ta có: 27 = 3³

Vì cơ số 3 > 1 nên x + 2 < 3

$\iff$x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 1.

II. Bất phương trình logarit

1. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log_a x > b (hoặc log_ax < 0; ${\log }_{a}x\le 0;$$\hspace{0.17em}{\log }_{a}x\ge 0$) với a > 0; a ≠ 1.

Xét bất phương trình log_ax > b

+ Trường hợp a > 1 ta có: log_ax > b$\iff$x > a^b.

+ Trường hợp 0 < a < 1 ta có: log_ax > b$\iff$0 < x < a^b.

– Ví dụ 3.

a) log₂x > 7$\iff$x > 2⁷.

b) ${\log }_{\frac{2}{5}}x<3$$\hspace{0.17em}\iff x\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}>{\left(\frac{2}{5}\right)}^3$

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình log_ax > b được cho trong bảng sau:

2. Bất phương trình logarit đơn giản

– Ví dụ 4. Giải bất phương trình ${\log }_3(x^2+\text{}2x)>\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\log }_3(x+2)$.

Lời giải: