Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ
Video giải Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ – Cánh diều
A. Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ
1. Tổng của hai vectơ
1.1. Định nghĩa
– Với ba điểm bất kì A, B, C, vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và , kí hiệu là = + .
– Cho hai vectơ và . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ = và = . Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và . Ta kí hiệu tổng của hai vectơ và là + . Vậy = + .
Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tính:
a) +
b) +
Hướng dẫn giải:
a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD và AB = CD.
⇒ = .
⇒ + = + = .
b) Vì A, O, C thẳng hàng (O là trung điểm của đường chéo AC)
⇒ = .
⇒ + = + = .
1.2. Quy tắc hình bình hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì += .
Ví dụ: Chứng minh quy tắc hình bình hành.
Hướng dẫn giải:
Ta có: = .
Suy ra: += + = .
1.3. Tính chất
Với ba vectơ tùy ý , , ta có:
+ = + (tính chất giao hoán) ;
( + ) + = + ( + ) (tính chất kết hợp);
+ = + = (tính chất của vectơ–không).
Chú ý: Tổng ba vectơ + + được xác định theo một trong hai cách sau:
( + ) + hoặc + ( + ).
Ví dụ: Cho 5 điểm tùy ý A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:
a) = .
b) + + = + .
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
= (áp dụng tính chất giao hoán)
= (áp dụng tính chất kết hợp)
= (áp dụng quy tắc cộng vectơ)
= (áp dụng tính chất giao hoán)
= (áp dụng quy tắc cộng vectơ) (đpcm).
Vậy = .
b) Ta có:
+ +
= (áp dụng quy tắc cộng vectơ)
= (áp dụng tính chất giao hoán)
= (áp dụng tính chất kết hợp)
= (áp dụng quy tắc cộng vectơ)
= (áp dụng tính chất kết hợp)
=
= (vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vectơ–không)
= (áp dụng tính chất vectơ–không) (đpcm).
2. Hiệu của hai vectơ
2.1. Hai vectơ đối nhau
Định nghĩa: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ được gọi là vectơ đối của vectơ , kí hiệu là –. Hai vectơ và – được gọi là hai vectơ đối nhau.
Quy ước: Vectơ đối của vectơ là vectơ .
Nhận xét:
+) + (–) = (–) + =
+) Hai vectơ , là hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi + = .
+) Với hai điểm A, B, ta có: .
Lưu ý: Cho hai điểm A, B. Khi đó hai vectơ và là hai vectơ đối nhau, tức là
Chú ý:
– I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi .
– G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi .
Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Tìm vectơ đối của các vectơ , .
Hướng dẫn giải:
+ Vì = AB và ngược hướng với
⇒ = –
Þ là vectơ đối của vectơ .
+ Vì AB = CD, AB // CD (ABCD là hình vuông)
⇒ và ngược hướng với
⇒ = –
Þ là vectơ đối của vectơ .
Vì A, O, C là ba điểm thẳng hàng và OA = OC (ABCD là hình vuông)
⇒ ngược hướng với và
⇒ = –
Þ là vectơ đối của .
Vậy , là vectơ đối của vectơ và là vectơ đối của .
2.2. Hiệu của hai vectơ
Hiệu của hai vectơ và , kí hiệu là – , là tổng của vectơ và vectơ đối của vectơ , tức là – = + (–).
Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ hai vectơ.
Nhận xét: Với ba điểm bất kì A, B, O ta có: = .
Ví dụ: Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Chứng minh rằng:
– =
Hướng dẫn giải:
Ta có:
– = (áp dụng quy tắc về hiệu hai vectơ) (1)
= = = (vectơ đối) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: – = (đpcm).
B. Bài tập tự luyện
B.1 Bài tập tự luận
Bài 1. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng và .
Hướng dẫn giải:
+ Vì ABCD là hình vuông nên AB // DC và AB = DC.
⇒
⇒
Áp dụng quy tắc cộng hai vectơ ta có:
Do đó, = .
+ Vì A, O, C cùng nằm trên một đường thẳng và OA = OC (O là tâm hình vuông ABCD).
⇒
⇒
Áp dụng quy tắc công hai vectơ ta có:
Vậy = .
Bài 2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm của tam giác.
Tính độ dài vectơ .
Hướng dẫn giải:
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta áp dụng quy tắc trọng tâm có:
⇒
Vậy độ dài vectơ là 0.
B.2 Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét các đáp án:
– Đáp án A. Ta có . Vậy A sai.
– Đáp án B sai vì .
– Đáp án C. Ta có . Vậy C đúng.
Câu 2. Cho 5 điểm bất kỳ A, B, C, D, E. Tính tổng .
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
= (tính chất giao hoán và kết hợp)
= (quy tắc ba điểm)
= (tính chất giao hoán)
= .
Câu 3. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó,
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Áp dụng tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm cho ba điểm A, O, B ta có: .
Xét hình bình hành ABCD có:
Vậy .
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 3: Khái niệm vectơ
Lý thuyết Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ
Lý thuyết Bài 5: Tích của một số với một vectơ
Lý thuyết Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ
Lý thuyết Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây
Bài giảng Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ – Cánh diều