Lý thuyết Tích của một số với một vectơ (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

A. Lý thuyết Tích của một số với một vectơ

1. Tích của một số với một vectơ và các tính chất

Cho số k ≠ 0 và $\vec{a} \neq \vec{0}$ . Tích của số k với $\vec{a} \neq \vec{0}$ là một vectơ, kí hiệu là $k \vec{a}$ .

Vectơ $k \vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với $\vec{a}$ nếu k < 0 và có độ dài bằng $|k| . |\vec{a}|$ .

Ta quy ước $0 \vec{a} = \vec{0}$ và $k \vec{0} = \vec{0}$ .

Người ta còn gọi tích của một số với một vectơ là tích của một vectơ với một số.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Tìm các vectơ bằng: $2 \vec{D E}; - \frac{1}{2} \vec{C A}; - 2 \vec{E C}$ .

Hướng dẫn giải

+ Vectơ bằng $2 \vec{D E}$ :

Tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DE // AC và 2DE = AC.

Vì k = 2 > 0 nên vectơ cần tìm cùng hướng với $\vec{D E}$ và có độ dài bằng 2DE.

Ta có $\vec{D E}$ cùng hướng với $\vec{A C}$ và 2DE = AC.

Do đó $2 \vec{D E} = \vec{A C}$ .

+ Vectơ bằng $- \frac{1}{2} \vec{C A}$ :

Ta có F là trung điểm CA.

Do đó FA = CF = $\frac{1}{2} C A$ .

Vì k = $- \frac{1}{2}$ < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với $\vec{C A}$ và có độ dài bằng $\frac{1}{2} C A$ .

Ta có $\vec{A F}, \vec{F C}$ ngược hướng với $\vec{C A}$ và AF = FC = $\frac{1}{2} C A$ .

Do đó $\vec{A F} = \vec{F C} = - \frac{1}{2} \vec{C A}$ .

+ Vectơ bằng $- 2 \vec{E C}$ :

Ta có E là trung điểm BC.

Do đó CB = 2EC.

Vì k = –2 < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với $\vec{E C}$ và có độ dài bằng 2EC.

Ta có $\vec{C B}$ ngược hướng với $\vec{E C}$ và CB = 2EC.

Do đó $\vec{C B} = - 2 \vec{E C}$ .

Tính chất:

Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bất kì, với mọi số thực h và k, ta có:

+) $k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}$ ;

+) $(h + k) \vec{a} = h \vec{a} + k \vec{a}$ ;

+) $h (k \vec{a}) = (h k) \vec{a}$ ;

+) $1. \vec{a} = \vec{a}$ ;

+) $(- 1) . \vec{a} = - \vec{a}$ .

Ví dụ: Ta có:

a) $6 (\vec{x} + \vec{y}) = 6 \vec{x} + 6 \vec{y}$ ;

b) $(3 + x) \vec{u} = 3 \vec{u} + x \vec{u}$ ;

c) $6. (- 5 \vec{i}) = [6. (- 5)] \vec{i} = - 30 \vec{i}$ ;

d) $2 \vec{c} - 7 \vec{c} = (2 - 7) \vec{c} = - 5 \vec{c}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

$\Leftrightarrow \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C} = 3 \vec{M G}$ (quy tắc ba điểm)

$\Leftrightarrow 3 \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = 3 \vec{M G}$

$\Leftrightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

⇔ G là trọng tâm của tam giác ABC (đpcm).

2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ( $\vec{b} \neq \vec{0}$ ) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho $\vec{a} = k \vec{b}$ .

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để $\vec{A B} = k \vec{A C}$ .

Chú ý: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Với mỗi $\vec{c}$ luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho $\vec{M B} = 3 \vec{M C}$ , $\vec{N A} + 3 \vec{N C} = \vec{0}$ , $\vec{P A} + \vec{P B} = \vec{0}$ .

a) Biểu diễn $\vec{M P}$ theo $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

b) Biểu diễn $\vec{M N}$ theo $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

c) Chứng minh rằng: 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\vec{M B} = 3 \vec{M C} \Rightarrow |\vec{M B}| = |3| . |\vec{M C}| \Rightarrow M B = 3 M C$ .

Mà $\vec{M B}, \vec{M C}$ cùng hướng (do k = 3 > 0)

Do đó ba điểm B, C, M thẳng hàng và C nằm giữa B, M sao cho MB = 3MC.

Ta có $\vec{P A} + \vec{P B} = \vec{0}$ nên P là trung điểm AB.

Do đó AP = $\frac{1}{2}$ AB.

Mà $\vec{A P}, \vec{A B}$ cùng hướng.

Suy ra $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

Ta có: $\vec{M B} = \vec{M C} + \vec{C B} \Leftrightarrow \vec{M B} = \frac{1}{3} \vec{M B} + \vec{C A} + \vec{A B}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3} \vec{M B} = - \vec{A C} + \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{M B} = \frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$

Ta có

$\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A B} - \vec{M B} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C}$ .

Ta có $\vec{M P} = \vec{A P} - \vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$

Vậy $\vec{M P} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$ (1)

b) Ta có $\vec{N A} + 3 \vec{N C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{N A} = - 3 \vec{N C}$ .

Do đó $|\vec{N A}| = |- 3| . |\vec{N C}|$ hay NA = 3NC.

Khi đó ta có AN = $\frac{3}{4}$ AC.

Mà $\vec{N A}, \vec{N C}$ ngược hướng (do k = ‒3 < 0).

Do đó ba điểm A, N, C thẳng hàng và N nằm giữa hai điểm A và C sao cho $A N = \frac{3}{4} A C .$

Suy ra $\vec{A N} = \frac{3}{4} \vec{A C}$ .

Ta có $\vec{M N} = \vec{A N} - \vec{A M} = \frac{3}{4} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$

Vậy $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C} .$ (2)

c) Từ (1), ta suy ra $2 \vec{M P} = 2 \vec{A B} - 3 \vec{A C}$ .

Từ (2), ta suy ra $4 \vec{M N} = 2 \vec{A B} - 3 \vec{A C}$ .

Do đó ta có $2 \vec{M P} = 4 \vec{M N}$ hay $\vec{M P} = 2 \vec{M N}$ .

Vậy ba điểm M, N, P thẳng hàng.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

Hướng dẫn giải

Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng với O qua M và N.

Suy ra M là trung điểm của AB và EO; N là trung điểm của DC và OF.

Khi đó các tứ giác OAEB và OCFD là các hình bình hành

$\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O E}$ (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OAEB)

Và $\vec{O D} + \vec{O C} = \vec{O F}$ (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OCFD).

$\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{O E} + \vec{O F}$

Vì O là trung điểm của MN nên OM = ON, mà OM = ME, ON = MF.

Do đó OE = OF hay O là trung điểm của EF

Suy ra $\vec{O E} + \vec{O F} = \vec{0}$ $\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị $\vec{A M}$ theo hai vecto $\vec{A B}$ và $\vec{A D} .$

Hướng dẫn giải

Gọi E là điểm đối xứng với A qua M.

Khi đó M là trung điểm của BC và AE.

Suy ra tứ giác ABEC là hình bình hành.

$\Rightarrow \vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A E}$ (quy tắc hình bình hành)

Mà $\vec{A E} = 2 \vec{A M}$ (M là trung điểm của AE)

$\Rightarrow \vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M} \Rightarrow \vec{A M} = \frac{\vec{A B} + \vec{A C}}{2}$

Xét hình bình hành ABCD có: $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{\vec{A B} + (\vec{A B} + \vec{A D})}{2} = \frac{\vec{A B} + \vec{A B} + \vec{A D}}{2}$

$\Rightarrow \vec{A M} = \frac{2 \vec{A B} + \vec{A D}}{2} = \frac{2 \vec{A B}}{2} + \frac{\vec{A D}}{2} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

Vậy $\vec{A M} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} .$

Bài 3. Cho tam giác ABC.

a) Hãy xác định điểm M để $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} .$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = 4 \vec{O M} .$

Hướng dẫn giải

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow (\vec{M G} + \vec{G A}) + (\vec{M G} + \vec{G B}) + 2 (\vec{M G} + \vec{G C}) = \vec{0}$ $\Leftrightarrow \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + 2 \vec{M G} + 2 \vec{G C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow (\vec{M G} + \vec{M G} + 2 \vec{M G}) + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + \vec{G C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 4 \vec{M G} + \vec{G C} = \vec{0}$ (vì $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ )

$\Leftrightarrow 4 \vec{M G} = - \vec{G C}$

$\Leftrightarrow - 4 \vec{G M} = - \vec{G C}$

$\Leftrightarrow \vec{G M} = \frac{1}{4} \vec{G C}$

Do đó vecto $\vec{G M}$ cùng hướng với vecto $\vec{G C}$ và $G M = \frac{1}{4} G C .$

Vậy điểm M nằm giữa G và C sao cho $G M = \frac{1}{4} G C .$

b) Ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = (\vec{O M} + \vec{M A}) + (\vec{O M} + \vec{M B}) + 2 (\vec{O M} + \vec{M C})$

$= \vec{O M} + \vec{M A} + \vec{O M} + \vec{M B} + 2 \vec{O M} + 2 \vec{M C}$

$= (\vec{O M} + \vec{O M} + 2 \vec{O M}) + (\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C})$

$= 4 \vec{O M} + \vec{0}$ (vì $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$ )

$= 4 \vec{O M}$

Vậy với mọi điểm O, ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = 4 \vec{O M} .$

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Lý thuyết Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Lý thuyết Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Lý thuyết Bài 1: Số gần đúng và sai số

Lý thuyết Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy