20 câu Trắc nghiệm Tích của một số với một vectơ (Cánh diều 2023) có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Câu 1. Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho $3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}$ và $3\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{DC}.$ Tính vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}.$

A. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC};$

B. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC};$

C. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC};$

D. $\overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có : $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$ và $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.$

Suy ra $3\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}+2\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}\right)$

$=\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right)+\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{BC}+\left(\overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{CN}\right).$

Theo bài ra, ta có: $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}.$ Thật vậy:

$3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}\iff 3\overrightarrow{AM}=2\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}\right)$

$\iff 3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{MB}$

$\iff \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$

$\iff 2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{AM}=0$

$\iff 2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=0$

$3\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{DC}\iff 3\overrightarrow{DN}=2(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{NC})$

$\iff 3\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{NC}$

$\iff \overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{NC}$

$\iff \overrightarrow{DN}-2\overrightarrow{NC}=0$

$\iff \overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{CN}=0$

Vậy $3\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{BC}\iff \overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$

Câu 2. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DC};$

B. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{BN};$

C. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right);$

D. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

– A đúng, vì $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DC}=\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}\right)+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{MN}.$

– B đúng, vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{BN}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\right)-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MN}.$(vì M là trung điểm của AD nên $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MD}$)

– C đúng, vì $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}.$

Suy ra $2\overrightarrow{MN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\right)+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}\right)=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right).$

Vậy chỉ còn đáp án D.

Câu 3. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC};$

B. $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC};$

C. $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC};$

D. $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án ta thấy cần phân tích vectơ $\overrightarrow{DM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{BC}.$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}.$

Và M là trung điểm AB nên $2\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$

$\iff 2\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$

$\iff 2\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}.$

$\iff 2\overrightarrow{DM}=-2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}$ suy ra $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC}.$

Câu 4: Cho tam giác ABC điểm M thuộc cạnh AB sao cho $3AM=AB$ và N là trung điểm của AC. Tính $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$

A. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB};$

B. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB};$

C. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC};$

D. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì N là trung điểm AC nên $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}.$

$\iff 2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}$

Do M là điểm thuộc cạnh AB và 3AM = AB nên $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{MA}$

Do đó, $2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$

Câu 5: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N chia cạnh BC theo ba phần bằng nhau $BM=MN=NC.$ Tính $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$

A. $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC};$

B. $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC};$

C. $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC};$

D. $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo giả thiết ta có: $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{NC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$

Câu 6. Cho tam giác OAB vuông cân tại O cạnh OA = a. Tính 

A. a;

B. $\left(1+\sqrt{2}\right)a;$

C. $a\sqrt{5};$

D. $2a\sqrt{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi C là điểm đối xứng của O qua A$\Rightarrow OC=2a.$Tam giác OBC vuông tại O có $BC=\sqrt{O{B}^2+O{C}^2}=a\sqrt{5}.$

Ta có : $2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BC},$ suy ra : 

Câu 7. Cho tam giác OAB vuông cân tại O cạnh OA = a. Khẳng định nào sau đây sai:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:

– Gọi C nằm trên tia đối của tia AO sao cho

$OC=3OA$$\Rightarrow 3\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}.$

Và D nằm trên tia đối của tia BO sao cho

$OD=4OB$$\Rightarrow 4\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}.$

Dựng hình chữ nhật OCED suy ra $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OE}$ (quy tắc hình bình hành).

Ta có: 

Do đó, A đúng

– B đúng, vì 

– D đúng, vì 

Vậy chỉ còn đáp án C.

Câu 8. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0};$

B. $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+2\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0};$

C. $2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0};$

D. $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IM}.$

Mặt khác I là trung điểm AM nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{0}.$

Suy ra $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+2\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IM}+2\overrightarrow{IA}=2\left(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IA}\right)=\overrightarrow{0}.$

Câu 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right);$

B. $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right);$

C. $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC};$

D. $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì M là trung điểm BC nên

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}.$ $\left(1\right)$

Mặt khác I là trung điểm AM nên

$2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AM}.$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AI}\iff \overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).$

Câu 10. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right);$

B. $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right);$

C. $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{2}\overrightarrow{AC};$

D. $\overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow \overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}.$

Và M là trung điểm của BC

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}\iff \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).$

Do đó $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).$

Câu 11: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính $\overrightarrow{AB}$ theo $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{BC}.$

A. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC};$

B. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AM};$

C. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC};$

D. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AM}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$

Câu 12: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho $NC=2NA$. Gọi K là trung điểm của MN. Khi đó :

A. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}.$

B. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}.$

C. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}.$

D. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì K là trung điểm của MN nên ta có :

Ta có : $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)$.

Mà M là trung điểm của AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho NC = 2AN nên ta có : 

Do đó, $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

Câu 13: Cho hình bình hành ABCD. Tính $\overrightarrow{AB}$ theo $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}.$

A. $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD};$

B. $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BD};$

C. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC};$

D. $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}.$

Ta có : 

$\Rightarrow 2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}+\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}.$

Câu 14: Cho tam giác ABC và đặt $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BC},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}.$> Cặp vectơ nào sau đây cùng phương?

A. $2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b};$

B. $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b};$

C. $5\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},-10\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b};$

D. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Dễ thấy $-10\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=-2\left(5\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$$\Rightarrow$hai vectơ $5\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},-10\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$ cùng phương

Câu 15: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.$ Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Ba điểm C, M, B thẳng hàng.

B. AM là phân giác trong của góc $\widehat{BAC}.$

C. A, M và trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng.

D. $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi I, G lần lượt là trung điểm BC và trọng tâm tam giác ABC

Vì I là trung điểm BC nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}.$

Theo bài ra, ta có $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ suy ra $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MI}$$\Rightarrow$$A,M,I$ thẳng hàng

Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABC$\Rightarrow G\in AI.$$\Rightarrow$A, M, G thẳng hàng.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Trắc nghiệm Ôn tập chương 4

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây