Đề Toán TN AI

**PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án**

**Câu 1**: Một xưởng sản xuất đồ gia dụng ước tính rằng chi phí để sản xuất \(x\) chiếc đèn bàn (với \(x\) là một số nguyên dương) là \(C(x) = 25x + 5000\) (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử mỗi chiếc đèn bàn được bán với giá \(50\) nghìn đồng. Hỏi xưởng cần sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc đèn bàn để đảm bảo không bị lỗ?
**A.** \(199\)
**B.** \(200\)
**C.** \(201\)
**D.** \(202\)

**Câu 2**: Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = x(x-1)^2(x-3)\). Số điểm cực trị của hàm số \(f(x)\) là:
**A.** \(0\)
**B.** \(1\)
**C.** \(2\)
**D.** \(3\)

**Câu 3**: Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng \(100\) triệu đồng với lãi suất kép \(6%\) một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm thì người đó nhận được số tiền (cả vốn lẫn lãi) ít nhất là \(150\) triệu đồng?
**A.** \(6\) năm
**B.** \(7\) năm
**C.** \(8\) năm
**D.** \(9\) năm

**Câu 4**: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S): (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 9\). Tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \((S)\) là:
**A.** \(I(1; -2; 3), R = 3\)
**B.** \(I(-1; 2; -3), R = 3\)
**C.** \(I(1; -2; 3), R = 9\)
**D.** \(I(-1; 2; -3), R = 9\)

**Câu 5**: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
\[
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -\infty & & 1 & & +\infty \\
\hline
y’ & & + & 0 & – & \\
\hline
y & & \nearrow & 3 & \searrow & \\
& -\infty & & & & -\infty \\
\hline
\end{array}
\]
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
**A.** \((1; +\infty)\)
**B.** \((-\infty; 1)\)
**C.** \((0; +\infty)\)
**D.** \((-\infty; 0)\)

**Câu 6**: Nghiệm của phương trình \(2^{x+1} = 8\) là:
**A.** \(x = 2\)
**B.** \(x = 3\)
**C.** \(x = 4\)
**D.** \(x = 8\)

**Câu 7**: Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1; 2; -3)\) và \(B(3; -2; 1)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là:
**A.** \((2; -4; 4)\)
**B.** \((4; 0; -2)\)
**C.** \((2; 0; -2)\)
**D.** \((4; -4; 4)\)

**Câu 8**: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) và \(SA = a\sqrt{2}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là:
**A.** \(\frac{a^3\sqrt{2}}{3}\)
**B.** \(\frac{a^3\sqrt{2}}{6}\)
**C.** \(a^3\sqrt{2}\)
**D.** \(\frac{a^3}{3}\)

**Câu 9**: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(x^2 – 2mx + m^2 – 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
**A.** \(m \neq 1\)
**B.** \(m \neq -1\)
**C.** \(m > 1\)
**D.** \(m < -1\) **Câu 10**: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1 = 2\) và công sai \(d = 3\). Giá trị của \(u_5\) là: **A.** \(11\) **B.** \(14\) **C.** \(17\) **D.** \(20\) **Câu 11**: Trong không gian \(Oxyz\), phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng \((Oxy)\)? **A.** \(z = 0\) **B.** \(x = 0\) **C.** \(y = 0\) **D.** \(x + y = 0\) **Câu 12**: Cho hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 2\). Số điểm cực trị của hàm số này là: **A.** \(0\) **B.** \(1\) **C.** \(2\) **D.** \(3\) Các em trả lời các câu hỏi ở phần I theo cú pháp: 1A, 2B, ... **PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai** **Câu 1**: Cho \(f(x) = 2\cos(x) + x\) **a)** \( f(0) = 2, \quad f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \) **b)** \( f'(x) = 2\sin(x) + 1 \) **c)** \( f'(x) = 0 \text{ trên đoạn} \left[0; \frac{\pi}{2}\right] \text{là } x = \frac{7\pi}{6} \) **d)** Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\) **Câu 2**: Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn \(200\,\text{m}\), tốc độ của ô tô là \(36\,\text{km/h}\). Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ \(v(t) = at + b\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau \(12\,\text{giây}\) và duy trì sự tăng tốc trong \(24\,\text{giây}\) kể từ khi bắt đầu tăng tốc. **a)** Quãng đường đi từ lúc bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là \(180\,\text{m}\) **b)** Giá trị của \(b = 10\) **c)** Quãng đường \( S(t) \) (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian \( t \) giây (với \( 0 \leq t \leq 24 \)) kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức \( S(t) = \int_0^{24} v(t)\, dt \) **d)** Sau \(24\,\text{s}\) kể từ khi tăng tốc, tốc độ không vượt quá tốc độ cho phép là \(100\,\text{km/h}\) **Câu 3**: \(200\) người phỏng vấn, \(105\) người “sẽ mua”, \(95\) người “không mua”. Tỷ lệ thực sự mua: \(70%\) (trong nhóm "sẽ mua"), \(30%\) (trong nhóm "không mua") Gọi \(A\) là biến cố “Người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm”. Gọi \(B\) là biến cố “Người được phỏng vấn trả lời sẽ mua sản phẩm”. **a)** \( P(B) = \frac{21}{40} \quad \text{và} \quad P(\overline{B}) = \frac{19}{40} \) **b)** \( P(A \mid B) = 0.3 \) **c)** \[ P(A) = 0.51 \] **d)** Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có \(70%\) người đã trả lời “sẽ mua” khi được phỏng vấn (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị). **Câu 4**: Các thiên thạch có đường kính lớn hơn \(140\,\text{m}\) và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn \(7{,}500{,}000\,\text{km}\) được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá \(6{,}600\,\text{km}\) so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính \(R = 6{,}400\,\text{km}\). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) trong không gian có gốc \(O\) tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là \(1000\,\text{km}\). Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm \(M(6; 20; 0)\) đến điểm \(N(-6; -12; 16)\) **a)** Đường thẳng \( MN \) có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 6 + 3t \\ y = 20 + 8t \\ z = -4t \end{cases} \] với \( t \in \mathbb{R} \). **b)** Vị trí đầu tiên vào phạm vi theo dõi: \[ A(-3; -4; 12). \] **c)** Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là \(18{,}900\,\text{km}\) (kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét). **d)** Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là \(3\) phút thì thời gian nó di chuyển từ điểm \(M\) đến điểm \(N\) là \(6\) phút Các em trả lời các câu hỏi ở phần II theo cú pháp: 1DSDS, 2SDSD ... **PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6** **Câu 1**: Một công ty sản xuất đồ chơi trẻ em đang lên kế hoạch cho ra mắt một mẫu robot mới. Bộ phận thiết kế đã tạo ra một mô hình 3D của robot, trong đó phần thân có hình dạng một khối trụ tròn xoay với chiều cao \(15\,\text{cm}\) và bán kính đáy \(5\,\text{cm}\). Phần đầu robot được thiết kế là một nửa khối cầu với bán kính \(5\,\text{cm}\) được gắn trực tiếp lên đỉnh của khối trụ. Để tăng tính thẩm mỹ, công ty quyết định phủ một lớp sơn đặc biệt lên toàn bộ bề mặt của robot (bao gồm cả phần đáy). Biết rằng chi phí cho mỗi mét vuông sơn là \(250{,}000\) đồng. Giả sử rằng quá trình sơn không làm thay đổi kích thước của robot và bỏ qua mọi chi phí khác liên quan đến sản xuất. Hãy tính xem công ty cần bao nhiêu tiền (đơn vị: đồng) để sơn \(1000\) con robot như vậy (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? **Câu 2**: Một người nông dân muốn xây dựng một hệ thống tưới tiêu tự động cho khu vườn hình chữ nhật của mình. Ông ta quyết định sử dụng một máy bơm nước đặt tại một góc của khu vườn để cung cấp nước cho toàn bộ diện tích. Biết rằng khu vườn có chiều dài \(20\,\text{m}\) và chiều rộng \(15\,\text{m}\). Vòi phun nước được đặt trên một trụ có thể điều chỉnh độ cao. Để đảm bảo rằng tất cả các điểm trong khu vườn đều nhận được đủ nước, người nông dân cần tính toán bán kính tưới tối thiểu của vòi phun. Giả sử rằng vòi phun có khả năng tưới đều trong một hình tròn và bỏ qua mọi yếu tố cản trở như gió hay cây cối. Tìm bán kính tưới tối thiểu (đơn vị: mét, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) mà vòi phun cần có để phủ kín toàn bộ khu vườn. **Câu 3**: Một kỹ sư xây dựng đang thiết kế một cây cầu vượt cho người đi bộ qua một con đường cao tốc. Cây cầu có dạng một đường cong parabol, với chiều cao tối đa so với mặt đường là \(5\,\text{m}\) và khoảng cách giữa hai chân cầu là \(20\,\text{m}\). Để đảm bảo an toàn, kỹ sư muốn lắp đặt các thanh chắn dọc theo hai bên cầu, mỗi thanh cách nhau \(1\,\text{m}\). Biết rằng chiều cao của các thanh chắn tỷ lệ thuận với khoảng cách từ điểm đặt của chúng đến đỉnh của parabol. Hãy tính tổng chiều dài (đơn vị: mét, làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) của tất cả các thanh chắn cần thiết để lắp đặt cho cây cầu. **Câu 4**: Một nhà thiết kế nội thất đang lên kế hoạch trang trí một phòng khách có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài \(8\,\text{m}\), chiều rộng \(5\,\text{m}\) và chiều cao \(3\,\text{m}\). Anh ta muốn sử dụng một loại giấy dán tường đặc biệt có hoa văn lặp lại. Biết rằng mỗi cuộn giấy dán tường có chiều dài \(10\,\text{m}\) và chiều rộng \(0{,}5\,\text{m}\). Để tiết kiệm chi phí, nhà thiết kế muốn tính toán số cuộn giấy dán tường tối thiểu cần mua, giả sử rằng không có hao hụt trong quá trình dán và bỏ qua diện tích các cửa ra vào và cửa sổ. Hãy xác định số cuộn giấy dán tường tối thiểu mà nhà thiết kế cần mua để trang trí toàn bộ phòng khách. **Câu 5**: Một công ty vận tải biển đang lên kế hoạch cho một chuyến đi biển chở hàng hóa từ cảng A đến cảng B. Khoảng cách giữa hai cảng là \(500\) hải lý. Tàu chở hàng có tốc độ tối đa là \(25\) hải lý/giờ và tiêu thụ nhiên liệu với tốc độ \(10\) lít/hải lý. Giá nhiên liệu hiện tại là \(20{,}000\) đồng/lít. Ngoài chi phí nhiên liệu, công ty còn phải trả các chi phí cố định khác như lương thuyền viên, phí cảng, v.v., tổng cộng là \(50\) triệu đồng cho mỗi chuyến đi. Để tối đa hóa lợi nhuận, công ty cần tính toán tốc độ tối ưu mà tàu nên di chuyển. Giả sử rằng tốc độ của tàu ảnh hưởng đến mức tiêu thụ nhiên liệu theo một hàm số bậc hai. Hãy xác định tốc độ tối ưu (đơn vị: hải lý/giờ, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) mà tàu nên di chuyển để giảm thiểu tổng chi phí cho chuyến đi. **Câu 6**: Một nhà nghiên cứu thị trường đang thực hiện một khảo sát về mức độ hài lòng của khách hàng đối với một sản phẩm mới. Anh ta đã thu thập dữ liệu từ \(200\) người, trong đó \(120\) người cho biết họ hài lòng với sản phẩm. Để đánh giá độ tin cậy của kết quả khảo sát, nhà nghiên cứu muốn tính khoảng tin cậy \(95%\) cho tỷ lệ khách hàng hài lòng. Hãy xác định độ dài (đơn vị: phần trăm, làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) của khoảng tin cậy \(95%\) cho tỷ lệ khách hàng hài lòng với sản phẩm. Các em trả lời các câu hỏi ở phần III theo cú pháp: 1 125, 2 -4.5 ... **-----------------HẾT------------------**