1. Câu hỏi mẫu:
Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}$ là
*A. $\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+C$.
B. $2{{x}^{3}}+C$.
C. $3{{x}^{3}}+C$.
D. $\dfrac{1}{2}{{x}^{3}}+C$.
Lời giải
Ta có $\int {{x}^{2}}\text{ d}x=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+C$.
Lời giải
Công thức tìm nguyên hàm của hàm số lũy thừa $x^n$ (với $n \neq -1$) là:
$\int x^n \text{d}x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Áp dụng công thức này cho hàm số $f(x) = x^2$ (trong đó $n=2$), ta có:
$\int x^2 \text{d}x = \dfrac{x^{2+1}}{2+1} + C = \dfrac{x^3}{3} + C$.
Vậy đáp án đúng là A.
2. Phân tích kiến thức câu hỏi; mức độ; dùng phương pháp giải:
* **Kiến thức:** Câu hỏi này kiểm tra kiến thức cơ bản về nguyên hàm, cụ thể là công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa $x^n$. Đây là một trong những công thức nền tảng đầu tiên học khi tìm hiểu về tích phân không xác định.
* **Mức độ:** Nhận biết/Thông hiểu. Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, chỉ yêu cầu học sinh ghi nhớ và áp dụng trực tiếp công thức.
* **Phương pháp giải:**
* **Nhận diện dạng bài:** Đây là bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số dạng lũy thừa đơn giản $x^n$.
* **Áp dụng công thức:** Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: $\int x^n \text{d}x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (với $n \neq -1$).
* **Thực hiện phép tính:** Thay giá trị $n=2$ vào công thức và tính toán.
* **Kết luận:** Chọn đáp án tương ứng.
3. Các câu tương tự:
**Câu 1:** Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}$ là
A. $\dfrac{1}{3}{{x}^{4}}+C$.
*B. $\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}+C$.
C. $3{{x}^{4}}+C$.
D. $4{{x}^{4}}+C$.
Lời giải
Ta có $\int {{x}^{3}}\text{ d}x=\dfrac{1}{3+1}{{x}^{3+1}}+C=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}+C$.
Đáp án đúng là B.
**Câu 2:** Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=4{{x}^{3}}$ là
*A. ${{x}^{4}}+C$.
B. $4{{x}^{4}}+C$.
C. $12{{x}^{2}}+C$.
D. $\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}+C$.
Lời giải
Ta có $\int 4{{x}^{3}}\text{ d}x=4\int {{x}^{3}}\text{ d}x=4\cdot \dfrac{1}{4}{{x}^{4}}+C={{x}^{4}}+C$.
Đáp án đúng là A.
**Câu 3:** Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{x}$ là
A. $\dfrac{2}{3}\sqrt{x}+C$.
*B. $\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+C$.
C. $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+C$.
D. $\dfrac{3}{2}x\sqrt{x}+C$.
Lời giải
Ta có $f\left( x \right)=\sqrt{x}={{x}^{\frac{1}{2}}}$.
Vậy $\int {{x}^{\frac{1}{2}}}\text{ d}x=\dfrac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}+C=\dfrac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+C=\dfrac{2}{3}{{x}^{\frac{3}{2}}}+C=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+C$.
Đáp án đúng là B.
**Câu 4:** Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$ là
A. $\dfrac{1}{x}+C$.
B. $\dfrac{2}{{{x}^{3}}}+C$.
C. $2x+C$.
*D. $-\dfrac{1}{x}+C$.
Lời giải
Ta có $f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}={{x}^{-2}}$.
Vậy $\int {{x}^{-2}}\text{ d}x=\dfrac{{{x}^{-2+1}}}{-2+1}+C=\dfrac{{{x}^{-1}}}{-1}+C=-\dfrac{1}{x}+C$.
Đáp án đúng là D.