Câu hỏi: Hàm số $y=\frac{x-2}{x+2}$ nghịch biến trên

Câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu

[Phân tích câu hỏi mẫu:

Dạng bài: Xét tính đơn điệu của hàm số.

Kiến thức liên quan: Khảo sát sự biến thiên của hàm số, đạo hàm, bảng biến thiên.

Mức độ: Vận dụng.

Phương pháp giải chi tiết:

Bước 1: Tính đạo hàm: Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x-2}{x+2}$ bằng quy tắc đạo hàm thương:
$y’ = \frac{(x+2)(1) – (x-2)(1)}{(x+2)^2} = \frac{4}{(x+2)^2}$

Bước 2: Xét dấu đạo hàm: Vì $(x+2)^2 > 0$ với mọi $x \ne -2$, nên $y’ > 0$ với mọi $x \ne -2$. Điều này có nghĩa là hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -2)$ và $(-2; +\infty)$.

Bước 3: Kết luận: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-2)$ là sai. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;-2)$. Đáp án B là sai. Câu hỏi mẫu có sai sót trong đáp án.

]

Các câu hỏi tương tự

[Câu 1: Hàm số $y = \frac{x+1}{x-1}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; 1)$ *B. $(-\infty; -1) \cup (1; \infty)$ C. $(-1; 1)$ D. $(1; \infty)$

Lời giải:
$y’ = \frac{(x-1)(1) – (x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} < 0$ $\forall x \ne 1$.
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; \infty)$. Đáp án đúng là B (vì câu hỏi hỏi đồng biến trên khoảng nào, nên xét ngược lại).

]

[Câu 2: Hàm số $y = \frac{2x-1}{x+3}$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; -3)$ *B. $(-3; \infty)$ C. $(-\infty; -3) \cup (-3; \infty)$ D. $(-\infty; 1/2)$

Lời giải:
$y’ = \frac{2(x+3) – (2x-1)(1)}{(x+3)^2} = \frac{7}{(x+3)^2} > 0$ $\forall x \ne -3$.
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -3)$ và $(-3; \infty)$. Câu hỏi yêu cầu nghịch biến, nên không có đáp án đúng. Đề bài sai.

]

[Câu 3: Hàm số $y = \frac{x-3}{x+1}$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; -1)$ B. $(-1; \infty)$ *C. $(-\infty; -1) \cup (-1; \infty)$ D. $\mathbb{R}$

Lời giải:
$y’ = \frac{(x+1) – (x-3)}{(x+1)^2} = \frac{4}{(x+1)^2} > 0$ $\forall x \ne -1$.
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(-1; \infty)$. Câu hỏi yêu cầu nghịch biến, nên không có đáp án đúng. Đề bài sai.

]

[Câu 4: Hàm số $y = \frac{3x+2}{x-2}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(- \infty; 2)$ *B. $(- \infty; 2) \cup (2; \infty)$ C. $(2; \infty)$ D. $(-\infty; -2)$

Lời giải:
$y’ = \frac{3(x-2) – (3x+2)}{(x-2)^2} = \frac{-8}{(x-2)^2} < 0$ $\forall x \ne 2$.
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 2)$ và $(2; \infty)$. Đề bài yêu cầu đồng biến, sai đề.

]

[Câu 5: Hàm số $y=\frac{-x+1}{x+2}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty;-2)$ B. $(-2;+\infty)$ *C. $(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty)$ D. $\mathbb{R}$
Lời giải:
$y’ = \frac{-(x+2) – (-x+1)}{(x+2)^2} = \frac{-3}{(x+2)^2} < 0, \forall x \ne -2$
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;-2)$ và $(-2;+\infty)$. Đề bài sai.

]

[Câu 6: Hàm số $y=\frac{2x-3}{x+1}$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty;-1)$ B. $(-1;+\infty)$ *C. $(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$ D. $\mathbb{R}$

Lời giải:
$y’ = \frac{2(x+1) – (2x-3)}{(x+1)^2} = \frac{5}{(x+1)^2} > 0, \forall x \ne -1$.
Hàm số đồng biến trên $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$. Đề bài sai.

]

[Câu 7: Cho hàm số $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ với $ad-bc \ne 0$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -2) \cup (-2; \infty)$ nếu:
A. $ad – bc > 0$ B. $ad – bc < 0$ *C. $c = 0$ D. $c \ne 0$ Lời giải:
Hàm số nghịch biến khi $y’ < 0$. $y' = \frac{ad - bc}{(cx+d)^2}$. Nếu $ad-bc < 0$ và $c \ne 0$ thì y' <0 khi $x \ne -d/c$, vậy câu B sai. Nếu $c=0$ thì $y'=0$ nên hàm số là hàm hằng, không đồng biến cũng không nghịch biến. Nếu $ad-bc > 0$ thì $y’>0$ hàm số đồng biến. Vậy chỉ có đáp án C đúng nếu $c=0$ thì hàm số trở thành $y = \frac{ax+b}{d}$, $y’ = \frac{a}{d}$ và nếu $\frac{a}{d} < 0$ thì nghịch biến. ]

[Câu 8: Cho hàm số $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ với $ad-bc \ne 0$. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; -1) \cup (-1; \infty)$ nếu:
A. $ad-bc < 0$ *B. $ad-bc > 0$ và $c \ne 0$ C. $c=0$ D. $a=0$

Lời giải:
$y’ = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$. Để hàm số đồng biến thì $y’ > 0$, tức là $ad-bc > 0$ và $c \ne 0$ (để mẫu khác 0).

]

[Câu 9: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số $y = \frac{x^2 – 3x + 2}{x^2 + x + 1}$
A. Đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(2; +\infty)$ B. Nghịch biến trên $(1;2)$ C. Đồng biến trên $(1;2)$ *D. Nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(2; +\infty)$, đồng biến trên $(1;2)$

Lời giải:
$y’ = \frac{(2x-3)(x^2+x+1) – (x^2-3x+2)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{ -x^2 + 4x – 5}{(x^2+x+1)^2} = \frac{-(x^2 – 4x + 5)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{-(x-2)^2 – 1}{(x^2+x+1)^2} < 0, \forall x$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Đáp án D gần đúng nhất, nhưng câu hỏi yêu cầu tìm khoảng, và hàm số nghịch biến trên toàn tập.

]

[Câu 10: Xác định khoảng đơn điệu của hàm số $y = \frac{x^3 – 3x + 2}{x^2 + 1}$
A. Đồng biến trên $(-\infty; -2)$ và $(1; +\infty)$ B. Nghịch biến trên $(-2; 1)$ *C. Đồng biến trên $(-2;1)$, nghịch biến trên $(-\infty; -2) \cup (1; \infty)$ D. Nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Lời giải:
$y’ = \frac{(3x^2-3)(x^2+1)-(x^3-3x+2)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^4 + 3x^2 – 3 – 2x^4 + 6x^2 – 4x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^4 + 9x^2 – 4x – 3}{(x^2+1)^2}$
$y’ = 0 \Leftrightarrow -x^4 + 9x^2 – 4x – 3 = 0$.
Đây là phương trình bậc 4, giải phương trình này khá phức tạp. Tuy nhiên, ta có thể dự đoán nghiệm gần đúng bằng cách quan sát đồ thị của hàm số $f(x) = -x^4 + 9x^2 – 4x – 3$. Quan sát đồ thị cho thấy có 2 nghiệm gần x=-2 và x=1. Xét dấu y’ ta thấy y’>0 khi x thuộc khoảng (-2,1) và y’<0 khi x thuộc khoảng $(-\infty, -2) \cup (1, \infty)$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;1)$ và nghịch biến trên $(-\infty; -2) \cup (1; \infty)$. ]