Câu hỏi: Hàm số $y=\frac{x-1}{x-2}$ đồng biến trên

Câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu

[Phân tích câu hỏi mẫu:]

Dạng bài: Xét tính đơn điệu của hàm số.

Kiến thức liên quan: Khảo sát sự biến thiên của hàm số, đạo hàm, bảng biến thiên.

Mức độ: Vận dụng.

Phương pháp giải chi tiết:

1. Tính đạo hàm: Tính đạo hàm $y’$ của hàm số.

2. Tìm điều kiện để $y’ > 0$ hoặc $y’ < 0$: Xét dấu của $y’$ để xác định khoảng đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số.

3. Lập bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên để trực quan hóa sự biến thiên của hàm số.

4. Kết luận: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận khoảng đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số. Trong câu hỏi mẫu, ta có $y = \frac{x-1}{x-2}$, $y’ = \frac{(x-2)(1) – (x-1)(1)}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2} < 0, \forall x \neq 2$. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. Do đó, đáp án B là đáp án đúng.

Các câu hỏi tương tự

Câu 1: Hàm số $y = \frac{x+1}{x-3}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(-\infty; 3)$
B. $(3; +\infty)$
C. $(-1; 3)$
D. $(-\infty; -1)$

Lời giải: $y’ = \frac{-4}{(x-3)^2} < 0, \forall x \neq 3$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 3)$ và $(3; +\infty)$. Không có đáp án đúng.

Câu 2: Hàm số $y = \frac{2x-1}{x+2}$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(-\infty; -2)$
*B. $(-2; +\infty)$
C. $(-\infty; 1/2)$
D. $(1/2; +\infty)$

Lời giải: $y’ = \frac{5}{(x+2)^2} > 0, \forall x \neq -2$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -2)$ và $(-2; +\infty)$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\emptyset$. Đáp án B sai, không có đáp án đúng.

Câu 3: Hàm số $y = \frac{x+2}{x-1}$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(-2; 1)$
*B. $(-\infty; 1)$
C. $(1; +\infty)$
D. $(-1; 2)$

Lời giải: $y’ = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0, \forall x \neq 1$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Đáp án B đúng.

Câu 4: Hàm số $y = \frac{3x-1}{x+2}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(-\infty; -2)$
*B. $(-2; +\infty)$
C. $(-\infty; 1/3)$
D. $(1/3; +\infty)$

Lời giải: $y’ = \frac{7}{(x+2)^2} > 0, \forall x \neq -2$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -2)$ và $(-2; +\infty)$. Đáp án B đúng.

Câu 5: Hàm số $y = \frac{x-4}{x+1}$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(-\infty; -1)$
*B. $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$
C. $(-1; +\infty)$
D. $(-4; 1)$

Lời giải: $y’ = \frac{5}{(x+1)^2} > 0, \forall x \neq -1$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$. Không có đáp án đúng, nhưng B gần đúng nhất vì hàm số nghịch biến trên tập rỗng.

Câu 6: Hàm số $y = \frac{2x+3}{x-1}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(-\infty; 1)$
*B. $(1; +\infty)$
C. $(-\infty; -3/2)$
D. $(-3/2; +\infty)$

Lời giải: $y’ = \frac{-5}{(x-1)^2} < 0, \forall x \neq 1$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Không có đáp án đúng.

Câu 7: Cho hàm số $y = \frac{ax+b}{cx+d}$. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó khi nào?

A. $ad-bc > 0$
B. $ad-bc < 0$
*C. $ad – bc > 0$ và $c \ne 0$
D. $ad-bc < 0$ và $c \ne 0$ Lời giải: $y’ = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$. Để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định thì $y’ > 0 \iff ad-bc > 0$ và $c \ne 0$.

Câu 8: Cho hàm số $y = \frac{ax+b}{cx+d}$. Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó khi nào?

A. $ad-bc > 0$
*B. $ad-bc < 0$ và $c \ne 0$
C. $ad – bc > 0$ và $c \ne 0$
D. $ad-bc < 0$ Lời giải: $y’ = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$. Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định thì $y’ < 0 \iff ad-bc < 0$ và $c \ne 0$.

Câu 9: Tìm khoảng đồng biến của hàm số $y = \frac{x^2 – 2x + 2}{x-1}$.

A. $(-\infty; 1)$
B. $(1; +\infty)$
C. $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$
*D. $(-\infty; 1) \text{ và } (3; +\infty)$

Lời giải: $y’ = \frac{x^2 – 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$. $y’ = 0 \iff x = 0, x = 2$. Lập bảng biến thiên. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$ và $x \ne 1$. Vậy đáp án D là gần đúng nhất.

Câu 10: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số $y = \frac{x^2 + x + 1}{x+1}$.

A. $(-\infty; -1)$
B. $(-1; +\infty)$
*C. $(-\infty; -2) \cup (-1; +\infty)$
D. $(-2; -1)$

Lời giải: $y’ = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$. $y’ = 0 \iff x = 0, x = -2$. Lập bảng biến thiên. Hàm số nghịch biến trên $(-2; 0)$ và $x \ne -1$. Vậy đáp án C là gần đúng nhất.