Câu hỏi: Hàm số $y=2x^3-3x^2+1$ đồng biến trên

Câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu

[**Phân tích câu hỏi mẫu:**

Dạng bài: Xét tính đơn điệu của hàm số bậc ba.

Kiến thức liên quan: Đạo hàm, bảng biến thiên, tính đơn điệu của hàm số.

Mức độ: Thông hiểu.

Phương pháp giải:
* **Tìm đạo hàm:** Tính đạo hàm y’ của hàm số.
* **Tìm nghiệm của đạo hàm:** Giải phương trình y’ = 0 để tìm các điểm tới hạn.
* **Lập bảng biến thiên:** Xác định dấu của y’ trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
* **Kết luận:** Dựa vào bảng biến thiên để kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
]

Các câu hỏi tương tự

[Câu 1: Hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; 0)$
*B. $(2; +\infty)$
C. $(0; 2)$
D. $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$

Lời giải:
$y’ = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Bảng biến thiên:
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x & -\infty & 0 & 2 & +\infty \\
\hline
y’ & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
y & & & & \\
\hline
\end{array}
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$. Vậy đáp án đúng là B.
]

[Câu 2: Hàm số $y = -x^3 + 3x^2 – 3x + 1$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
*A. $(1; +\infty)$
B. $(-\infty; 1)$
C. $(-\infty; 0)$
D. $(0; +\infty)$

Lời giải:
$y’ = -3x^2 + 6x – 3 = -3(x – 1)^2 \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án đúng là A.
]

[Câu 3: Hàm số $y = x^3 – 6x^2 + 9x + 2$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; 1)$
B. $(3; +\infty)$
*C. $(1; 3)$
D. $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$

Lời giải:
$y’ = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x – 1)(x – 3) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên $(1; 3)$. Vậy đáp án đúng là C.
]

[Câu 4: Hàm số $y = -x^3 + 6x^2 – 9x – 1$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; 1)$
B. $(3; +\infty)$
*C. $(1; 3)$
D. $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$

Lời giải:
$y’ = -3x^2 + 12x – 9 = -3(x – 1)(x – 3) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên $(1; 3)$. Vậy đáp án đúng là C.
]

[Câu 5: Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 3x + 1$. Hàm số này đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty; 1)$
*B. $(3; +\infty)$
C. $(1; 3)$
D. $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$

Lời giải:
$y’ = x^2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$. Vậy đáp án đúng là B.
]

[Câu 6: Hàm số $y = -x^3 + 3x – 2$ nghịch biến trên khoảng nào?
*A. $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$
B. $(-1; 1)$
C. $(-\infty; 0)$
D. $(0; +\infty)$

Lời giải:
$y’ = -3x^2 + 3 = -3(x^2 – 1) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$. Vậy đáp án đúng là A.
]

[Câu 7: Hàm số $y = 2x^3 + 3x^2 – 12x + 5$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-2; 1)$
*B. $(- \infty; -2) \cup (1; +\infty)$
C. $(- \infty; 0)$
D. $(0; +\infty)$

Lời giải:
$y’ = 6x^2 + 6x – 12 = 6(x^2 + x – 2) = 6(x – 1)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -2$.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -2)$ và $(1; +\infty)$. Vậy đáp án đúng là B.
]

[Câu 8: Hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 9x – 2$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-1; 3)$
*B. $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$
C. $(-3; 1)$
D. $(-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$

Lời giải:
$y’ = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x^2 – 2x – 3) = -3(x – 3)(x + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 3$ hoặc $x = -1$.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$. Vậy đáp án đúng là B.
]

[Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 3(m^2 – 1)x – m^3 + m$ nghịch biến trên khoảng $(1; 2)$.
A. $m \le 1$
B. $m \ge 2$
*C. $m \ge 1$
D. $m \le 2$

Lời giải:
$y’ = 3x^2 – 6mx + 3(m^2 – 1)$.
Hàm số nghịch biến trên $(1; 2)$ khi và chỉ khi $y’ \le 0$ trên $(1; 2)$.
$y’ = 3(x^2 – 2mx + m^2 – 1) \le 0$ trên $(1; 2)$.
$x^2 – 2mx + m^2 – 1 \le 0$ trên $(1; 2)$.
$\Delta’ = m^2 – (m^2 – 1) = 1 > 0$.
$x_1 = m – 1$, $x_2 = m + 1$.
Để $x^2 – 2mx + m^2 – 1 \le 0$ trên $(1; 2)$ thì $m – 1 \le 1$ và $m + 1 \ge 2$, hay $m \le 2$ và $m \ge 1$.
Vậy $1 \le m \le 2$.
Tuy nhiên, yêu cầu là nghịch biến trên $(1;2)$, do đó $1 \le m -1 < x < m+1 \le 2$ phải luôn đúng. Suy ra $m \ge 1$. ]

[Câu 10: Cho hàm số $y = x^3 + ax^2 + bx + c$ có đồ thị (C). Biết rằng tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 có phương trình là $y = 6x + 5$ và (C) đi qua điểm $A(1; -4)$. Tìm khoảng đồng biến của hàm số.
A. $(-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$
B. $(-2; 1)$
*C. $(-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$
D. $(- \infty; 1)$

Lời giải:
$y’ = 3x^2 + 2ax + b$.
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = -1$ có phương trình $y – y(-1) = y'(-1)(x + 1)$.
$y – ( -1 + a – b + c) = (3 – 2a + b)(x + 1)$.
$y = (3 – 2a + b)x + 3 – 2a + b – 1 + a – b + c = (3 – 2a + b)x + 2 – a + c$.
Ta có: $3 – 2a + b = 6$ và $2 – a + c = 5$.
$2a – b = -3$ và $a – c = -3$.
(C) đi qua $A(1; -4)$: $1 + a + b + c = -4$, $a + b + c = -5$.
Từ $2a – b = -3$ và $a – c = -3$, ta được $b = 2a + 3$ và $c = a + 3$.
$a + 2a + 3 + a + 3 = -5$, $4a = -11$, $a = -\frac{11}{4}$.
$b = 2(-\frac{11}{4}) + 3 = -\frac{5}{2}$ và $c = -\frac{11}{4} + 3 = \frac{1}{4}$.
$y = x^3 – \frac{11}{4}x^2 – \frac{5}{2}x + \frac{1}{4}$.
$y’ = 3x^2 – \frac{11}{2}x – \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 120}}{12} = \frac{11 \pm \sqrt{241}}{12}$.
$x_1 \approx -0.36$, $x_2 \approx 2.36$.
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -0.36) \cup (2.36; +\infty)$.

]