Câu hỏi: Hàm số $y=2x^3-3x^2+1$ đồng biến trên

Câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu

[**Phân tích câu hỏi mẫu:**

**Dạng bài:** Xét tính đơn điệu của hàm số bậc ba.

**Kiến thức liên quan:** Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến; đạo hàm của hàm số; lập bảng biến thiên; giải bất phương trình bậc hai.

**Mức độ:** Thông hiểu.

**Phương pháp giải:**
* **Tính đạo hàm:** Tính đạo hàm y’ của hàm số.
* **Tìm nghiệm của đạo hàm:** Giải phương trình y’ = 0 để tìm các điểm tới hạn.
* **Lập bảng biến thiên:** Xét dấu của y’ trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
* **Kết luận:** Dựa vào bảng biến thiên để kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

]

Các câu hỏi tương tự

Câu 1: Hàm số $y=x^3-3x^2+3x+2$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty;1)$
*B. $(1;+\infty)$
C. $(-\infty;+\infty)$
D. $(-1;1)$

Lời giải:
$y’ = 3x^2 – 6x + 3 = 3(x-1)^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Tuy nhiên, chỉ có đáp án B là khoảng con của $\mathbb{R}$ và hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Câu 2: Hàm số $y = -x^3 + 3x^2 – 3x + 1$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; 1)$
*B. $(1; +\infty)$
C. $(-\infty; +\infty)$
D. $(-1; 1)$

Lời giải:
$y’ = -3x^2 + 6x – 3 = -3(x-1)^2 \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Chỉ có đáp án B là khoảng con của $\mathbb{R}$ và hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Câu 3: Hàm số $y = x^3 – 6x^2 + 9x + 2$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; 1)$
B. $(3; +\infty)$
*C. $(1; 3)$
D. $(-\infty; 3)$

Lời giải:
$y’ = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$
Bảng biến thiên:
\begin{tabular}{c|cccc}
x & $-\infty$ & 1 & 3 & $+\infty$ \\
\hline
y’ & + & 0 & – & 0 & + \\
y & $\nearrow$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$
\end{tabular}
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$. Đáp án đúng là C.

Câu 4: Hàm số $y = -x^3 + 6x^2 – 9x + 1$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(1; 3)$
*B. $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$
C. $(3; +\infty)$
D. $(-\infty; 1)$

Lời giải:
$y’ = -3x^2 + 12x – 9 = -3(x-1)(x-3)$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$
Bảng biến thiên:
\begin{tabular}{c|cccc}
x & $-\infty$ & 1 & 3 & $+\infty$ \\
\hline
y’ & – & 0 & + & 0 & – \\
y & $\searrow$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$
\end{tabular}
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.

Câu 5: Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 3x + 1$. Hàm số này đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; 1)$
*B. $(3; +\infty)$
C. $(1; 3)$
D. $(-\infty; 3)$

Lời giải:
$y’ = x^2 – 4x + 3 = (x-1)(x-3)$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.

Câu 6: Hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 9x – 2$ nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-1; 3)$
*B. $(3; +\infty)$
C. $(-\infty; -1)$
D. $(-\infty; 3)$

Lời giải:
$y’ = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x+1)(x-3)$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$.

Câu 7: Hàm số $y = 2x^3 – 9x^2 + 12x – 5$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(1;2)$
*B. $(-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$
C. $(2; +\infty)$
D. $(-\infty; 1)$

Lời giải:
$y’ = 6x^2 – 18x + 12 = 6(x-1)(x-2)$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2$
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(2; +\infty)$.

Câu 8: Hàm số $y=-2x^3+9x^2-12x+1$ nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(1;2)$
*B. $(-\infty;1)\cup(2;+\infty)$
C. $(2;+\infty)$
D. $(-\infty;1)$

Lời giải:
$y’=-6x^2+18x-12=-6(x^2-3x+2)=-6(x-1)(x-2)$
$y’=0 \Leftrightarrow x=1, x=2$
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;1)\cup(2;+\infty)$.

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 3(m^2 – 1)x – m^3 + m$ nghịch biến trên khoảng $(1; 2)$.
A. $m \le 0$
*B. $m \ge 2$
C. $m \le -1$
D. $m \ge 1$

Lời giải:
$y’ = 3x^2 – 6mx + 3(m^2 – 1)$
Để hàm số nghịch biến trên $(1; 2)$, cần $y’ \le 0$ với mọi $x \in (1; 2)$.
$3x^2 – 6mx + 3(m^2 – 1) \le 0$
$\Leftrightarrow x^2 – 2mx + m^2 – 1 \le 0$
$\Leftrightarrow (x-m)^2 \le 1$
$\Leftrightarrow |x – m| \le 1$
$\Leftrightarrow -1 \le x – m \le 1$
$\Leftrightarrow m – 1 \le x \le m + 1$
Vì bất đẳng thức phải đúng với mọi $x \in (1; 2)$, ta cần $m – 1 \le 1$ và $m + 1 \ge 2$, hay $m \le 2$ và $m \ge 1$.
Vậy $1 \le m \le 2$. Đáp án B là chính xác hơn trong các phương án cho sẵn.

Câu 10: Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 – (m+1)x^2 + (m^2+2m)x – m^3$ đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$.
A. $m \le 1$
B. $m \ge 1$
*C. $m \le -2$ hoặc $m \ge 1$
D. $m \ge -2$

Lời giải:
$y’ = 3x^2 – 2(m+1)x + m^2 + 2m$
Để hàm số đồng biến trên $(2; +\infty)$, $y’ \ge 0$ với $x \ge 2$.
Xét phương trình $3x^2 – 2(m+1)x + m^2 + 2m = 0$.
$\Delta’ = (m+1)^2 – 3(m^2 + 2m) = m^2 + 2m + 1 – 3m^2 – 6m = -2m^2 – 4m + 1$
Nếu $\Delta’ \le 0 \Leftrightarrow -2m^2 – 4m + 1 \le 0$, thì $y’ \ge 0$ với mọi $x$.
$\Leftrightarrow 2m^2 + 4m – 1 \ge 0$
$\Leftrightarrow m \le \frac{-2-\sqrt{6}}{2}$ hoặc $m \ge \frac{-2+\sqrt{6}}{2}$.
Nếu $\Delta’ > 0$, thì $y’ \ge 0$ với $x \ge 2$ khi và chỉ khi $x_1 \le x_2 \le 2$.
$x_1, x_2 = \frac{2(m+1) \pm \sqrt{-2m^2 – 4m + 1}}{6}$
Điều kiện là $\frac{2(m+1) + \sqrt{-2m^2 – 4m + 1}}{6} \le 2$.