Câu hỏi: Hàm số nào sau đây đồng biến trên R

Câu hỏi mẫu

Phân tích câu hỏi mẫu

[**Phân tích câu hỏi mẫu:**]

**Dạng bài:** Xét tính đơn điệu của hàm số bậc ba.

**Kiến thức liên quan:** Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến; đạo hàm của hàm số; lập bảng biến thiên; ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số.

**Mức độ:** Thông hiểu.

**Phương pháp giải:**
* **Tính đạo hàm:** Tính đạo hàm y’ của hàm số.
* **Tìm nghiệm của y’=0:** Giải phương trình y’ = 0 để tìm các điểm tới hạn.
* **Lập bảng biến thiên:** Xác định dấu của y’ trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
* **Kết luận:** Dựa vào bảng biến thiên để kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên R.

Các câu hỏi tương tự

Câu 1: Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$?
A. $y = x^3 – 3x + 1$
B. $y = -x^3 + 3x^2 – 3x + 1$
C. $y = x^3 – 3x^2 + 3x – 1$
*D. $y = x^3 + 3x + 1$

Lời giải:
A. $y’ = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1)$, $y’ = 0 \iff x = \pm 1$. Hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
B. $y’ = -3x^2 + 6x – 3 = -3(x – 1)^2 \le 0$, $y’ = 0 \iff x = 1$. Hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
C. $y’ = 3x^2 – 6x + 3 = 3(x – 1)^2 \ge 0$, $y’ = 0 \iff x = 1$. Hàm số không nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
D. $y’ = 3x^2 + 3 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 2: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 0)$?
A. $y = x^3 + 3x + 1$
B. $y = -x^3 + 3x^2 – 3x + 1$
*C. $y = -x^3 – 3x + 1$
D. $y = x^3 – 3x^2 + 3x – 1$

Lời giải:
A. $y’ = 3x^2 + 3 > 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
B. $y’ = -3x^2 + 6x – 3 = -3(x – 1)^2 \le 0$, $y’ = 0 \iff x = 1$.
C. $y’ = -3x^2 – 3 = -3(x^2 + 1) < 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
D. $y’ = 3x^2 – 6x + 3 = 3(x – 1)^2 \ge 0$, $y’ = 0 \iff x = 1$.

Câu 3: Cho hàm số $y = x^3 – 6x^2 + 9x + 1$. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; 1)$
*B. $(3; +\infty)$
C. $(1; 3)$
D. $(-\infty; 3)$

Lời giải: $y’ = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x – 1)(x – 3) = 0 \iff x = 1, x = 3$.
Bảng biến thiên cho thấy hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.

Câu 4: Hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 5x – 2$ nghịch biến trên khoảng nào?
*A. $(0; 1)$
B. $(-\infty; 0)$
C. $(1; +\infty)$
D. $(-\infty; 1)$

Lời giải: $y’ = 3x^2 – 6x + 5 = 3(x^2 – 2x + 1) + 2 = 3(x – 1)^2 + 2 > 0, \forall x$. Hàm số luôn đồng biến.

Câu 5: Tìm khoảng đồng biến của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 – 3x + 2$.
A. $(-\infty; 1)$
B. $(1; +\infty)$
*C. $(-\infty; 1)$
D. $(-\infty; +\infty)$

Lời giải: $y’ = -3x^2 + 6x – 3 = -3(x – 1)^2 \le 0$, $y’ = 0 \iff x = 1$. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; 1)$.

Câu 6: Hàm số $y = -x^3 + 6x^2 – 9x + 1$ nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(1; 3)$
*B. $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$
C. $(3; +\infty)$
D. $(-\infty; 1)$

Lời giải: $y’ = -3x^2 + 12x – 9 = -3(x – 1)(x – 3) = 0 \iff x = 1, x = 3$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

Câu 7: Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$?
A. $y = x^3 – 6x^2 + 12x – 8$
*B. $y = x^3 – 3x^2 + 3x + 1$
C. $y = -x^3 + 3x^2 – 3x + 1$
D. $y = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

Lời giải:
A. $y’=3x^2-12x+12=3(x-2)^2\ge 0$, đồng biến trên $(2;+\infty)$
B. $y’=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\ge 0$, đồng biến trên R, nên cũng đồng biến trên $(2;+\infty)$
C. $y’=-3x^2+6x-3=-3(x-1)^2\le 0$, nghịch biến trên R
D. $y’=3x^2+6x+3=3(x+1)^2\ge 0$, đồng biến trên R

Câu 8: Hàm số $y = \frac{x^3}{3} – 2x^2 + 3x + 1$ nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty; 1)$
*B. $(1; 3)$
C. $(3; +\infty)$
D. $(-\infty; 3)$

Lời giải: $y’ = x^2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3) = 0 \iff x = 1, x = 3$. Hàm số nghịch biến trên $(1; 3)$.

Câu 9: (Vận dụng cao) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 3(m^2 – 1)x – m^3 + 3m$ nghịch biến trên khoảng $(1; 2)$.
A. $m \le -1$
B. $m \ge 2$
*C. $m \le -1$ hoặc $m \ge 2$
D. $-1 \le m \le 2$

Lời giải: $y’ = 3x^2 – 6mx + 3(m^2 – 1) = 3(x^2 – 2mx + m^2 – 1)$.
Hàm số nghịch biến trên $(1; 2)$ khi $y’ \le 0$ trên $(1; 2)$. $x^2 – 2mx + m^2 – 1 \le 0$ trên $(1; 2)$.
Phương trình $x^2 – 2mx + m^2 – 1 = 0$ có nghiệm $x = m \pm 1$.
Điều kiện là $1 < m - 1 < 2$ hoặc $1 < m + 1 < 2$.
$2 < m < 3$ hoặc $0 < m < 1$.
Kết hợp với điều kiện $1 < m -1 < 2$ và $1 < m + 1 < 2$ ta có $m \le -1$ hoặc $m \ge 2$

Câu 10: (Vận dụng cao) Cho hàm số $y = x^3 – (m+1)x^2 + (m^2+2m)x + 1$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$.
A. $m \le 1$
B. $m \ge 3$
*C. $m \ge 3$ hoặc $m \le 1$
D. $1 \le m \le 3$

Lời giải: $y’ = 3x^2 – 2(m+1)x + m^2 + 2m$.
Hàm số đồng biến trên $(2; +\infty)$ nếu $y’ \ge 0$ trên $(2; +\infty)$.
$3x^2 – 2(m+1)x + m^2 + 2m \ge 0, \forall x \ge 2$.
Xét $f(x) = 3x^2 – 2(m+1)x + m^2 + 2m$. $\Delta’ = (m+1)^2 – 3(m^2 + 2m) = -2m^2 – 4m + 1$.
Để $f(x) \ge 0$, $\forall x \ge 2$, ta cần $\Delta’ \le 0$ và $f(2) \ge 0$.
$-2m^2 – 4m + 1 \le 0 \iff m \in (-\infty; \frac{-2-\sqrt{6}}{2}] \cup [\frac{-2+\sqrt{6}}{2}; +\infty)$.
$f(2) = 12 – 4(m+1) + m^2 + 2m = m^2 – 2m + 8 \ge 0$ luôn đúng.
$f(2) \ge 0 \iff m^2 – 2m + 8 \ge 0$. Luôn đúng.
Vậy $m \ge 3$ hoặc $m \le 1$.