Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 10.

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

A. Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Phương trình dạng $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+\text{ex}+f}$

Để giải phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+\text{ex}+f}$  ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình:

ax² + bx + c = dx² + ex + f

Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.

Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình sau: $\sqrt{x^2+3x-2}=\sqrt{x+1}$

Hướng dẫn giải

 $\sqrt{x^2+3x-2}=\sqrt{x+1}$    (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta có:

x² + 3x – 2 = x + 1

$\Rightarrow$ x² + 2x – 3 = 0

x = 1 hoặc x = –3.

• Với x = 1 thay vào phương trình (1) ta được:

$\sqrt{1^2+3.1-2}=\sqrt{1+1}$$\iff \sqrt{2}=\sqrt{2}$ (đúng)

Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình (1).

• Với x = –3 ta thấy x + 1 = –3 +1 = –2 < 0 nên không tồn tại $\sqrt{x+1}.$

Do đó x = –3 không là nghiệm của phương trình (1).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1.

2. Phương trình dạng $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$

Để giải phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$ ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình:

ax² + bx + c = dx +e

Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1.

Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình sau: $\sqrt{4+2x-x^2}=x-2$  

Hướng dẫn giải

 $\sqrt{4+2x-x^2}=x-2$      (2)

Bình phương hai vế phương trình (2) ta có:

4 + 2x – x² = (x – 2)²

$\Rightarrow$ 4 + 2x – x² = x² – 4x + 4

$\Rightarrow$ 2x² – 6x = 0

$\Rightarrow$ 2x(x – 3) = 0

$\Rightarrow$ x = 0 hoặc x = 3

• Với x = 0 thay vào phương trình (2) ta được:

 $\sqrt{4+2.0-0^2}=0-2$$\iff$2 = –2 (vô lí)

Do đó x = 0 không là nghiệm của phương trình (2).

• Với x = 3 thay vào phương trình (2) ta được:

$\sqrt{4+2.3-3^2}=3-2$$\iff$1 = 1 (đúng)

Do đó x = 3 là nghiệm của phương trình (1).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a)  $\sqrt{x^2-5x+4}=\sqrt{-2x^2-3x+12};$

b)  $\sqrt{x^2-4x+4}-\sqrt{\left(6-x\right)\left(2x-1\right)}=0;$

c)  $\sqrt{x^2-2x+4}=\sqrt{2-x}.$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{x^2-5x+4}=\sqrt{-2x^2-3x+12};$       (1)

Bình phương hai vế phương trình (1) ta có:

x² – 5x + 4 = –2x² – 3x + 12

$\Rightarrow$ 3x² – 2x – 8 = 0

$\Rightarrow$ x = 2 hoặc x = $\frac{-4}{3}$  

• Với x = 2 ta có x² – 5x + 4 = 2² – 5.2 + 4 = –10.

Khi đó không tồn tại $\sqrt{x^2-5x+4}.$

Do đó x = 2 không là nghiệm của phương trình (1).

• Với x = $\frac{-4}{3}$ thay vào phương trình (1) ta được:

$\sqrt{{\left(\frac{-4}{3}\right)}^2-5.\left(\frac{-4}{3}\right)+4}=\sqrt{-2{\left(\frac{-4}{3}\right)}^2-3.\left(\frac{-4}{3}\right)+12}$ 

$\iff \frac{4\sqrt{7}}{3}=\frac{4\sqrt{7}}{3}$ (đúng)

Do đó x = $\frac{-4}{3}$ là nghiệm của phương trình (1).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = $\frac{-4}{3}$.

b) $\sqrt{x^2-4x+4}-\sqrt{\left(6-x\right)\left(2x-1\right)}=0;$

$\iff \sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{\left(6-x\right)\left(2x-1\right)}$   (2)

Bình phương hai vế phương trình (2) ta có:

x² – 4x + 4 = (6 – x)(2x – 1)

$\Rightarrow$ x² – 4x + 4 = 12x – 6 – 2x² + x

$\Rightarrow$ 3x² – 17x + 10 = 0

$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{l}x=5\\ x=\frac{2}{3}\end{array}\right.$  

• Với x = 5 thay vào phương trình (2) ta có:

$\sqrt{5^2-4.5+4}=\sqrt{\left(6-5\right)\left(2.5-1\right)}$

 

$\iff$ 3 = 3 (đúng)

Do đó x = 5 là nghiệm của phương trình đã cho.

• Với x =  thay vào phương trình (2) ta có:4/3-

 

$\sqrt{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2-4.\frac{2}{3}+4}=\sqrt{\left(6-\frac{2}{3}\right)\left(2.\frac{2}{3}-1\right)}$

$\iff$$\frac{4}{3}$ = $\frac{4}{3}$ (đúng)

Do đó x = $\frac{2}{3}$  là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S =  $\left\{5;\frac{2}{3}\right\}.$

c) $\sqrt{x^2-2x+4}=\sqrt{2-x}$ (3)

Bình phương hai vế phương trình (3) ta có:

x² – 2x + 4 = 2 – x

$\Rightarrow$ x² – x + 2 = 0

$\Rightarrow$ ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}=0$  

(vô lí vì ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}=0$ với mọi x).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^2-3x+2}=x-1;$

b)  $\sqrt{4x^2+2x+10}=3x+1;$ 

c)  $\sqrt{\left(x-1\right)\left(2x-1\right)}-2x-1=0;$

d)  $x-\sqrt{3x^2-9x+1}=2.$

Hướng dẫn giải

a)  $\sqrt{x^2-3x+2}=x-1;$   (1)

Bình phương hai vế phương trình (1) ta có:

x² – 3x + 2 = (x – 1)²

$\Rightarrow$ x² – 3x + 2 = x² – 2x + 1

$\Rightarrow$ –x = –1

$\Rightarrow$ x = 1

Thay x = 1 vào phương trình (1) ta có:

$\sqrt{1^2-3.1+2}=1-1$

 

$\iff$ 0 = 0 (đúng)

Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình (1).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.

b) $\sqrt{4x^2+2x+10}=3x+1;$         (2)

Bình phương hai vế phương trình (2) ta có:

4x² + 2x + 10 = (3x + 1)²

$\Rightarrow$ 4x² + 2x + 10 = 9x² + 6x + 1

$\Rightarrow$ –5x² – 4x + 9 = 0

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-\frac{9}{5}\end{array}\right.$ 

• Với x = 1 thay vào phương trình (2) ta có:

 

$\sqrt{{4.1}^2+2.1+10}=3.1+1$

$\iff$ 4 = 4 (đúng)              

Do đó x = 1 là nghiệm của phương trình (2).

• Với x = $-\frac{9}{5}$  thay vào phương trình (2) ta có:

$\sqrt{4.{\left(-\frac{9}{5}\right)}^2+2.\left(-\frac{9}{5}\right)+10}=3.\left(-\frac{9}{5}\right)+1$

 

$\iff$$\frac{22}{5}=-\frac{22}{5}$  (vô lí)       

Do đó x = $-\frac{9}{5}$ không là nghiệm của phương trình (2).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.

c) $\sqrt{\left(x-1\right)\left(2x-1\right)}-2x-1=0;$  

$\iff \sqrt{\left(x-1\right)\left(2x-1\right)}=2x+1$      (3)

Bình phương hai vế phương trình (3) ta có:

(x – 1)(2x – 1) = (2x + 1)²

$\Rightarrow$ 2x² – x – 2x + 1 = 4x² + 4x + 1

$\Rightarrow$ –2x² – 7x = 0

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{-7}{2}\end{array}\right.$

• Với x = 0 thay vào phương trình (3) ta có:

$\sqrt{\left(0-1\right)\left(2.0-1\right)}=2.0+1$

 

$\iff$ 1 = 1 (đúng)              

Do đó x = 0 là nghiệm của phương trình (3).

• Với x = $\frac{-7}{2}$ thay vào phương trình (3) ta có:

$\sqrt{\left(\frac{-7}{2}-1\right)\left(2.\frac{-7}{2}-1\right)}=2.\frac{-7}{2}+1$

 

$\iff$ 6 = –6 (vô lí)              

Do đó x = $\frac{-7}{2}$ không là nghiệm của phương trình (3).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0.

d)  $x-\sqrt{3x^2-9x+1}=2.$

$\iff x-2=\sqrt{3x^2-9x+1}$ 

$\iff \sqrt{3x^2-9x+1}=x-2$  (4)

Bình phương hai vế phương trình (4) ta có:

3x² – 9x + 1 = (x – 2)²

$\Rightarrow$ 3x² – 9x + 1 = x² – 4x + 4

$\Rightarrow$ 2x² – 5x – 3 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=\frac{-1}{2}\end{array}\right.$

 

• Với x = 3 thay vào phương trình (4) ta có:

$\sqrt{{3.3}^2-9.3+1}=3-2$

 

$\iff$ 1 = 1 (đúng)              

Do đó x = 3 là nghiệm của phương trình (4).

• Với x = $\frac{-1}{2}$ thay vào phương trình (4) ta có:

 

$\sqrt{3.{\left(\frac{-1}{2}\right)}^2-9.\left(\frac{-1}{2}\right)+1}=\frac{-1}{2}-2$

$\iff$$\frac{5}{2}=\frac{-5}{2}$  (vô lí)            

Do đó x = $\frac{-1}{2}$  không là nghiệm của phương trình (4).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3.

Bài 3. Tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AC ngắn hơn cạnh BC là 9 cm. Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC biết chu vi của tam giác bằng 70 cm.

Hướng dẫn giải

Gọi AC = x (cm) (x > 0).

Cạnh AC ngắn hơn cạnh BC là 9 cm nên BC = x + 9 (cm).

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

BC² = AB² + AC²

$\Rightarrow$ AB² = BC² – AC²

$\Rightarrow$ AB² = (x + 9)² – x²

$\Rightarrow$ AB² = x² + 18x + 81 – x² = 18x + 81

$\Rightarrow AB=\sqrt{18x+81}$ (cm)

Ta có chu vi của tam giác ABC là:

AB + BC + CA

= $\sqrt{18x+81}$ + x + 9 + x

= $\sqrt{18x+81}$ + 2x + 9 (cm)

Mà theo bài chu vi tam giác ABC bằng 70 cm.

Do đó ta có:  $\sqrt{18x+81}$+ 2x + 9 = 70

$\iff \sqrt{18x+81}$ = 61 – 2x (*)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta có:

18x + 81 = (61 – 2x)²

$\Rightarrow$ 18x + 81 = 3721 – 244x + 4x²

$\Rightarrow$ 4x² – 262x + 3640 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=20\\ x=45,5\end{array}\right.$

 

• Với x = 20 thay vào phương trình (*) ta có:

$\sqrt{18.20+81}$ = 61 – 2.20

$\iff$ 21 = 21 (đúng)

Do đó x = 20 là nghiệm của phương trình (*).

• Với x = 45,5 thay vào phương trình (*) ta có:

$\sqrt{18.45,5+81}$ = 61 – 2.45,5

$\iff$ 30 = –30 (vô lí)

Do đó x = 45,5 không là nghiệm của phương trình (*).

Khi đó AC = 20 (cm), BC = 29 (cm) và AB =$\sqrt{18.20+81}=21$ (cm).

Vậy AC = 20 cm, AB = 21 cm và BC = 29 cm.

Bài 4. Một đài quan sát O cách ba vị trí A, B, C như hình vẽ dưới đây.

Tính khoảng cách từ đài quan sát O tới B biết khoảng cách từ vị trí A đến vị trí C gấp đôi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B và khoảng cách từ O đến B ngắn hơn khoảng cách từ O đến A.

Hướng dẫn giải

Vì OB là khoảng cách nên x > 0.

Vì khoảng cách từ O đến B ngắn hơn khoảng cách từ O đến A nên x < 2.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAC ta có:

AC² = OA² + OC² – 2.OA.OC.cos$\widehat{AOC}$

$\Rightarrow$ AC² = 2² + (x + 1)² – 2.2.(x + 1).cos120°

$\Rightarrow$ AC² = 4 + x² + 2x + 1 + 2.(x +1) = x² + 4x + 7.

$\Rightarrow$ AC = $\sqrt{x^2+4x+7}$ (km).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAB ta có:

AB² = OA² + OB² – 2.OA.OB.cos$\widehat{AOB}$

$\Rightarrow$ AB² = 2² + x² – 2.2.x.cos(180° – 120°)

$\Rightarrow$ AB² = 4 + x² – 2x = x² – 2x + 4.

$\Rightarrow AB=\sqrt{x^2-2x+4}$ (km).

Vì khoảng cách từ vị trí A đến vị trí C gấp đôi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B nên AC = 2AB.

Do đó $\sqrt{x^2+4x+7}=2.\sqrt{x^2-2x+4}$

Bình phương hai vế phương trình trên ta có:

x² + 4x + 7 = 4.(x² – 2x + 4)

$\Rightarrow$ x² + 4x + 7 = 4x² – 8x + 16

$\Rightarrow$ 3x² – 12x + 9 = 0

$\iff$$\left[\begin{array}{l}x=3\left(ktm\right)\\ x=1\left(tm\right)\end{array}\right.$

Vậy khoảng cách từ đài quan sát O tới vị trí B là 1 km.

====== ****&**** =====